福建泉州市中考数学压轴题专项汇编共30个专题汇总.pdf

专题1 一元二次方程的特殊根破解策略1.一元二次方程的有理根关于x 的一元二次方程a f+A x+c naNO,a,6,为有理数）存在有理根的条件为：b a c是一个有理数的平方.解决一元二次方程数2+原+,=0（HO,a,b,c 为有理数）的有理根问题时:一般的解题策略有：（1）利 用“判别式的取值范围”解题讨论二次项系数的情况，当 aNO时，求出判别式；根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数；求出待定系数的可能取值，并检验.（2）利 用“判.别式是一个有理数的平方”解题讨论二次项系数的情况，当 aNO时，将方程的系数整数化，求出判别式；将判别式写成/=一/的形式（材为关于待定系数的整式，t 为整数），设犷一力=疗（如为非负有理数）可 得（AZ+加（M m）t,解此不定方程；求出待定系数的可能取值，并检验.2.一元二次方程的整数根对于一元二次方程a f+原+c=0 （aNO,a,b,c 为有理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件.解决方程a f+6 x+c=0 的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题.（1）利 用“根与系数的关系”解题讨论二次项系数的情况，当 aNO时，利用根与系数的关系求出两根的和与积；将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）；由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；（2）利 用“因式分解”解题讨论二次项系数的情况，当 aNO时，将方程化为（z i i i x+小）（他x+m）=0 的形式；求出方程的两根，和 X2=-；mt m2利用分离常量的方法，将-，-改变成一个常数与一个分式的和；m2根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；将待定系数的可能取值代入原方程检验并.确定结果.需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数.3.分离常量在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如.：小?一 2?+1 -3 m +3,3-=-=-=1-;m +m +m +m +m +-m-2-=-m-1-1 =-(-z-+-l)-1-=1-1-m+1 m+z+l m+i m+i办 2?+3 2m+2+1 2(6+1)1 1-=-=;-1-=2 d-m+m+1 m-7 +l m-p.3 6 1 3 机 3+2 3（6+1）2 2（4）-=-=-+-=3+-.m+l m+m+z +l m+1例题讲解：例 1 已知整数皿满足6 V/V2O,如果关于x 的一元二次方程加x?（2z1）x+/-2=0 有有理根，求必的值及方程的根.解：若原方程的根为有理数，则4=（2W-l）24皿（/-2）=4必+1 应为某个有理数的平方.己知6 V加 V 2 0,所以25 V4加+1 w 一3 Z7,并 且（加 一3+）+（2 7 7 3 77）=2（7 7 7 3）是偶数“所以m3+和m3 n同奇偶，所l l以,，mm-.33+n=42 或 3+-=7 一 2 ；解人 得=6m2=02=1（舍）.所以当m=6 时，方程有两个有理根，分 别 为 为=,，及=.2 3例 3 关于x 的一元二次方程r f +（r+2）x+r 1=0 有且只整数根，求整数r 的值.解：当 =0 时，原方程无整数根；“当 r#0 时，由根与系数的关系可得,r+2,2 r-1 ,1Xl+X-2=-=1 ,Xl*X2=1.r r r r因 为 E 都是整数，7 1所 以 汨+呢 和 小 均 为 整 数，从而4,上均为整数.而 r 为整数，所以r=l.2当 =一1时，原方程的解不为整数，不符合条件；当r=l时，原方程的解为为=0,在=-3.综上可得，整数r=l.例4在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，若二次函数y=（如一3 A+2）（2作一4 A+1）x+如一左（才为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？解：令 y=0,即（芥-3 4+2）x+（2 A2-4 A+1）x+J f k=O,因式分解，得（kl）x+A （k2）x+A1 =0由题意可得汨，生均为整数，所以一匚，,也均为整数,k l k-2设一=勿（/0,勿为整数），则=,+1,k-m所以一L _ =_r_ =q =Y -+i=_ i+-L,k-2 1+1-2 1 一 机 1一 加 -mm所 以1一跖=1,即如=0（舍），02=2,从而得到“=3.2所以二次函数表达式为尸1/一L x+3 =-L（x+1）2+14 2 4 4二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含6个“中国结”,分别为：（一3,0）,（-2,0）,（-1,0）,（-1,1）,（0,0）,（1,0）.进阶训练1 .已知0为有理数，问：4为何值时，关于x的方程X?4/x+4 x+3 2 2 /+4=。

的根为有理数？【提示】若原方程的根为有理数，则=4 /6 w+4 （1-Z-）应为某个有理数的平方.所以 4 （1 k）=9,即衣=?.42 .已知关于x的方程三一2 （2皿-3）*+414/8=0 （0）有两个不相等的实数根，若1 2V/Y4 0,且方程的两个根均为整数，求整数加的值.解：0=2 4.【提示】若原方程的根为有理数，则=4（2加+1）应为某个有理数的平方，由1 2 V必0,所以2 5 V 2 w+l 侬+(侬#0)的解集抛 物 线 夕=加+a#0)位于直线y=n ix+n(%W0)上方的所有点的横坐标的值；(4)关 于 x的不等式a x +b x+cr 抛物线y=a x +b x+c(a#0)位于直线 y=/zzx+(加 WO)下方的所有点的横坐标的值.例题讲解例 1在平面直角坐标系MK中，抛物线 尸 屣 一 2 姓一2 (*0)与 y 轴交于点4 其对称轴与x 轴交于 点 B.若该抛物线在厂2 V x V 1 这一段位于直线/：y=2 x+2 的上方，并且在2Vx V 3 这一段位于直线/切的下方，求该抛物线的表达式.解：如图，因为抛物线的对称轴是=1,且直线/与直线4 4 关于对称轴对称.所以抛物线在一1 VxVO这一段位于直线1的下方.又因为抛物线在一2 V x V 1 这一段位于直线1的上方，所以抛物线与直线1的一个交点的横坐标为-1.当 x=-1 时，y=2 X (1)+2=4,则抛物线过点(一1,4),将(1,4)代入乂=%/2 6 x 2,得R+2/-2=4,则加=2.所以抛物线的表达式为尸2/4 x 2.例 2 已知y=a*+b x+c (a#0)的自变量x与函数值y 满足：当一l W x W l 时，-且抛物线经过点4(1,一1)和点8(1,1).求 a的取值范围.解：因为抛物线y=a*+6 x+c 经过力(1,1)和 点 6(1,1),代入得a+Z?+c=1,a b+c=1,当 a 0 时，抛物线开口向下，且*=-0,2a如图可知，当-w 1时符合题意，所以一LwaVO.2a2当一1，0时，抛物线开口向上，且 矛=-!-0.2a如图可知，当-2 1时符合题意，所以0 aW,.2a2当时，图像不符合一1W Z 1的要求，舍去.2a综上所述，a的取值范围是一,W aV 0或OVaW.2 2例3在平面直角坐标系不以中，对于点P(a,b)和 点。

a,b)给出如下定义：0=/-/?a -2)的图象上，其限变点的纵坐标 的取值范围是-5W6 W 2,求4的 取 值 范 围；(2)若点尸在关于x的二次函数y=V-2 5的图象上，其限变点的纵坐标6的取值范围是或b .令s=m-n,求s关 于t的函数解析式及s的 取 值 范 围.r_丫 3 X-1解：(1)依题意，尸-x+3(x-2)图象上的点尸的限变点必在函数尸一；的图x-3-2xi象上.：.b W 2,即当x=l时,b 取最大值2.当 少=-2 时，-2=-x+3.x 5.当 少=-5时，-5=x-3 或-5=-w+3.x=-2 或 x=8.:-5W6 W2,由图象可知，4的取值范围是5WW8.(2)Vy=x-2 tx-r+t=(x-t)2+tf.顶点坐标为5 t).若VL bf的 取 值 范 围 是 2勿或Z/V，与题意不符.若当时，y的最小值为b即 勿=当 x 时，y 的值小于-(1-)之+打，即 n=-(1-1)2+t,s=jn-n=t+(1-t)+t=/+1.s关 于1的函数解析式为s=/+l(0 1),当=1时，s取最小值2,s的取值范围是sN2.6故答案为（6,1）;点 氏5 W A W 8；s，2.进阶训练1 .若关于x的一元二次方程f +8=0有两个不同的实数根加，n 方 程V+a x+b=l有两个不同的实数根夕，。

夕V q）,则勿，n,p,0的大小关系为（）A.m p q n B.p m n q C.m p n q D.p m q nB【提示】函数y=V+a x+b和函数y=V+a x+6 1的图像如图所示，从而得到p m n q解：函数y=V+a x+方如图所示：2 .在平面直角坐标系x勿中，p Cn,0）是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线，交一次函数 尸 版+b的图像于点也交二次函数/=炉一2 x 3的图像于点儿若只有当一2 /?V 2时，点位于点 的上方，求这个一次函数的表达式.尸 一2 x+l【提示】依据题意并结合图像可知“一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为一2和2,由此可得交点坐标分别为一2和2,由此可得交点坐标为（-2,5）和（2,-3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3.在平面直角坐标系宜/中，二次函数(2/Z/+1)x+m5 的图像与天轴有两个公共点，若加取满足条件的最小整数，当W xW l时，函数值y 的取值范围是一6W j4一小求刀的值n的值为一2【提示】根据已知可得卬=1.图像的对称轴为直线*=3.当1 之时，函数值y 随自变量2 2x 的增大而减小，所以当犬=1 时，函数的值为-6,当时，函数值为4一,所以2 3/?4=4一，解得=-2 或=4(不符合题意，舍去)，则的值为一28专题3函数图象的公共点破解策略根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为：（1）画图.（2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势.例如：直线y=2 x+6.其中待定系数是b.则直线y=2 x+6 与 直 线 尸 2x是平行或重合的；直线7=a 1,其 中 待 定 系 数 是 则 直 线 y=A x-l是绕着固定点（0,-7）旋转的；抛 物 线/=&/+5.其中待定系数是a,则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是变化的；抛 物 线 其 中 待 定 系 数 是 方，c.则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y=f上下左右平移得到.（3）找临界点，例题讲解例 1若二次函数y=-X-1 的图象与y 轴的交点为A.过点4 作直线/x 轴.将抛物线在3 3y 轴左侧部分沿直线/翻折，其余部分保持不变.得到一个新图象，直 线 与 新 图 象 只 有 一3个公共点（加，%）,且 y o W I,求 b 的取值范围.解：当直线经过点（0,-1）时，得 b=-l,3当直线与原抛物线只有一个交点时，令一 lx-l=Lx+bf3 3 3整理得 3x336=0.则4=9+4 （3+3Z?）=0,即 b=一工；41 ,7当一步一一x1=7 时，解 得 汨=6,及=4（舍），3 3将（6,7）代入直线产=1 x+b,得 8=5.3结合函数图象，可得当一/0)与 双 曲 线 尸-自有个交点的横坐标为2x刘，且满足4 WA b W6.通过/位置随力变化的过程，求出力。