2022年高中数学人教版选修1-2课时提升作业十3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义含答案.pdf

温馨提示：此套题为Word版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后关闭 Word文档返回原板块课时提升作业十复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 25 分) 1.(2016 太原高二检测) 已知A,B,C 是复平面内的三个不同点, 点 A,B 对应的复数分别是-2+3i,-i,若=, 则点 C表示的复数是( ) A.-2+2i B.-2+4i C.-1+i D.-1+2i 【解析】选C.设 C表示的复数为x+yi, 点 A,B 对应的复数分别是-2+3i,-i, =(x+2,y-3),=(-x,-1-y). 因为=, 所以 x+2=-x,y-3=-1-y, 解得 x=-1,y=1. 点 C表示的复数是-1+i. 2.(2016 昆明高二检测) 实数 x,y 满足 z1=y+xi,z2=yi-x,且 z1-z2=2,则 xy 的值是( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2, ? xy=1. 3.(2016 西宁高二检测) 在平行四边形ABCD 中, 对角线 AC与 BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是( ) A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i 【解析】选D.依题意有=-, 而(3+i)-(-1+3i)=4-2i, 即对应的复数为4-2i. 【补偿训练】(2016 武汉高二检测) 在复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是( ) A.2+14i B.1+7i C.2-14i D.-1-7i 【解析】选D.由平行四边形法则可得解得=(1,7), 所以=(-1,-7),所以对应的复数是 -1-7i. 4. 设 f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则 f(z1-z2)= ( ) A.B.5C.D.5【解析】选D.因为 z1-z2=5+5i, 所以 f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5. 【补偿训练】复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数, 差为纯虚数 , 则实数a,b的值为( ) A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4 C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4 【解析】选A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数 ,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数 , 故解得 a=-3,b=-4. 5. 设复数 z 满足关系式z+|z|=2+i,那么 z= ( ) A.-+i B.-i C.-i D.+i 【解析】选D.设 z=x+yi(x,yR), 则 x+yi+=2+i, 因此有解得故 z=+i. 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 15 分) 6. 已知 |z|=4,且 z+2i 是实数 , 则复数 z=_. 【解析】因为z+2i 是实数 , 可设 z=a-2i(aR), 由|z|=4得 a2+4=16, 所以 a2=12, 所以 a=2, 所以 z=2-2i. 答案 : 2-2i 7.(2016 成都高二检测) 已知 |z|=3,且 z+3i 是纯虚数 , 则 z=_. 【解析】设z=a+bi(a,bR), 因为 |z|=3,所以 a2+b2=9. 又 z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数 , 所以即又 a2+b2=9, 所以 a=0,b=3, 所以 z=3i. 答案 :3i 8. 复数 z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2, 且 |z1+z2|=|z1-z2|, 线段 M1M2的中点 M对应的复数为 4+3i, 则|z1|2+|z2|2=_. 【解题指南】利用复数加减法的几何意义解题. 【解析】根据复数加减法的几何意义, 由|z1+z2|=|z1-z2| 知 , 以,为邻边的平行四边形是矩形 (对角线相等 ), 即 M1OM2为直角 ,M 是斜边 M1M2的中点 , |=5,|=10. |z1|2+|z2|2=|2+|2=|2=100. 答案 :100 三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分 ) 9. 计算 : (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i). (2)5i-. 【解析】 (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i) =(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i. (2)5i-=5i-(4+i)=-4+4i. 10. 已知 z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,yR), 设 z=z1-z2=13-2i,求 z1,z2. 【解析】 z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i- =+i =(5x-3y)+(x+4y)i, 又因为 z=13-2i,且 x,y R, 所以解得所以 z1=(32-1)+(-1-4 2)i=5-9i, z2=4(-1)-22-i=-8-7i. 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 10 分) 1.(2016 福州高二检测) 已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若 z1+z2是纯虚数 , 那么实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.-2 D.-2 或 1 【解析】选C.由 z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数 , 得? a=-2. 【误区警示】解答本题时, 易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误. 2. 设复数 z 满足 |z-3-4i|=1,则|z| 的最大值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选D.因为 |z-3-4i|=1,所以复数z 所对应点在以C(3,4) 为圆心 , 半径为 1 的圆上 ,由几何性质得 |z| 的最大值是+1=6. 【一题多解】选D.设 z=x+yi(x,yR), 所以 z-3-4i=(x+yi)-(3+4i)=(x-3)+(y-4)i,又 |z-3-4i|=1, 所以 (x-3)2+(y-4)2=1, 设 x=3+cos,y=4+sin , 则|z|= =( 其中sin =,cos =),所以 |z| 的最大值是6. 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 10 分) 3.(2016 大 连 高 二 检 测 ) 在 平 行 四 边 形OABC 中 , 各 顶 点 对 应 的 复 数 分 别 为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数 a-b 为_. 【解析】因为+=, 所以 2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以得 a-b=-4. 答案 :-4 4. 已知 z1,z2 C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2, 则|z1-z2| 为_. 【解析】 由复数加法、 减法的几何意义知,以复平面上对应z1,z2的向量为邻边的平行四边形为正方形 , 所以 |z1-z2|=2. 答案 :2【补偿训练】若|z1|=|z2|=1, 且|z1+z2|=, 求|z1-z2|. 【解析】 |z1+z2| 和 |z1-z2| 是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长. 如 图 所 示 , 由 |z1|=|z2|=1,|z1+z2|=, 知 四 边 形 为 正 方 形 , 所 以 另 一 条 对 角 线 的 长|z1-z2|=. 【拓展延伸】复数运算几何意义的应用(1) 已知复数z1,z2,z1+z2在复平面内分别对应点A,B,C,O 为原点且 |z1+z2|=|z1-z2|, 把关系式|z1+z2|=|z1-z2| 给予几何解释为: 平行四边形两对角线长相等, 故四边形OACB 为矩形 . (2) 因为 |z1|,|z2|,|z1-z2|( 或|z1+z2|) 构成了三角形的三边(Z1,Z2,O 三点不共线 ), 所以可用解三角形来处理边与角的问题. 三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分 ) 5. 已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i, 向量对应的复数为1+2i, 向量对应的复数为3-i,求 : (1) 点 C,D 对应的复数 . (2) 平行四边形ABCD 的面积 . 【解析】 (1) 因为向量对应的复数为1+2i, 向量对应的复数为3-i, 所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又=+, 所以点 C对应的复数为 (2+i)+(2-3i)=4-2i. 因为=, 所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1). 设 D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1), 所以解得所以点 D对应的复数为5. (2) 因为=|cosB, 所以 cosB=. 所以 sinB=. 所以 S=|sinB=7, 所以平行四边形ABCD 的面积为7. 6.(2016 杭州高二检测) 已知 |z|=2,求|z+1+i| 的最大值和最小值. 【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+i| 的几何意义 ,再利用几何图形求|z+1+i| 的最大值和最小值 . 【解析】设z=x+yi(x,yR), 则由 |z|=2知 x2+y2=4, 故 z 对应的点在以原点为圆心,2 为半径的圆上, 又|z+1+i| 表示点 (x,y)到点 (-1,-) 的距离 . 又因为点 (-1,-) 在圆 x2+y2=4 上, 所以圆上的点到点(-1,-) 的距离的最小值为0, 最大值为圆的直径4, 即|z+1+i| 的最大值和最小值分别为4 和 0. 【拓展延伸】数形结合求解复数问题因为复数拥有实部与虚部“两条腿” , 进而与复平面上的点建立了一一对应, 又与以原点为起点的向量建立一一对应. 所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考. 【补偿训练】已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=+i, 求复数 z1,z2. 【解析】因为 |z1|=|z2|=1,|z1+z2|=1, 所以 z1+z2对应向量, 其中 COx=60 , 如图 1 所示 . 设对应复数 z1,对应复数 z2, 则四边形 AOBC 是菱形 , 且 AOC 和 BOC 都是等边三角形,于是 z1=1,z2=+i 或 z1=+i,z2=1. 如图 2 和图 3 所示 . 关闭 Word 文档返回原板块。