
2022年高中数学诱导公式全集总结.pdf
14页2016 高中数学诱导公式全集总结常用的诱导公式有以下几组:公式一:设a为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2k n + a )=sin a (k ?Z) cos(2k n + a )=cos a (k ?Z) tan(2k n + a )=tan a (k ?Z) cot(2k n + a )=cot a (k ?Z) 公式二:设a为任意角,n 的三角函数值与a的三角函数值之间的关利用公式二和公式二可以得到n- a与a的二角函数值之间的关系:sin( n + a-s)= acos( n + a- C=s atan( n + a )=tan acot( n + a )=cot a公式三:任意角a与-a的三角函数值之间的关系:sin(- a )=-sin acos(- a )=cos atan(- a )=-tan acot(- a )=-cot a公式四:系:sin( -n )=sin aCOS( -ta )=COS atan( ta )=ta n aCOt( -ta )=COt a公式五:利用公式一和公式三可以得到2 n- a与a的三角函数值之间的关系:sin(2 -n )=sin aCOS(2 na )=COS atan(2 na )=ta n aCOt(2 a ):- COt a公式六:n /2 及3 n /2 士与a的三角函数值之间的关系:sin( n/2+ a )= COs aCOs( n/2+ a- s)i n= atan( n/2+ a- C)O=aCOt( n/2+ a- ta)n= asin( n-/a2 ) =COs aCOs( n-/2a)=sin atan( n-/2a)=COt a利用公式二和公式二可以得到n- a与a的二角函数值之间的关cot( n -/2 )=ta n asin(3 n /2+ -co= acos(3 n /2+ a )=sin atan(3 n /2+ aco= acot(3 n /2+ -ta= asin(3 n- /2 )=COS acos(3 n -Z2 )=s in atan(3 n -/2 )=cot acot(3 n -/2 )=ta n a(以上k? Z) 注意: 在做题时,将a 看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为:对于n /2*k 士a (k ? Z)的三角函数值, 当k是偶数时,得到a的同名函数值,即函数名不改变; 当k是奇数时,得到a相应的余函数值,即sin cos;cos 宀sin;tan 宀cot , cot tan. (奇变偶不变)然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号符号看象限)例如:sin(2 -n )=sin(4 -a ),=4为偶数,所以取sin a 当a 是锐角时,2a? (270 ,360 ),-sirj(2 所以sin(2 -a )=sin a上述的记忆口诀是:奇变偶不变,符号看象限公式右边的符号为把a视为锐角时,角k ? 360 + a (k -?aZ), 180 a, -360 所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变;符号看象限 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割) ” .这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”第二象限内只有正弦是“+”,其余全部-”是“;第三象限内切函数是“+”,弦函数-是”“;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部-”是“.上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦# 还有一种按照函数类型分象限定正负:函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦 . + . + . . 余弦 . + . . . + 正切 . + . . + . 余切 . + . . + . 同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan a、cOt a=1 sin a、csc a=1 cOs a、sec a=1 商的关系:sin a /cos a =tan a =sec a /csc aCOS a /sin a =COt a =CSC a /sec a平方关系:sin八2( a )+cosA2( a )=1 1+ta门八2( a )=secA2( a ) 1+cOtA2( a )=cscA2( a ) 同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法: (参看图片或参考资料链接 ) 构造以上弦、中切、下割 ;左正、右余、中间 1 的正六边形为模 型。
1 )倒数关系:对角线上两个函数互为倒数 ;(2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)由此,可得商数关系式3)平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin( a + B )=sin cos B +cos sin Bsin( - )=sin aGossBa sin Bcos( a + B )=cos a-sios B sin Bcos( )=cos acos B +sin sin Btan( +B )=(tan a +tantarn ”( ta n B)tan( -aB )=(tan -tan B )/(1+tan a ?tan B ) 二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2 a =2sin a COS acos2 a =cosA2( -sir)2( a )=2cosA2( -1 = 1-) 2sinA2( a ) tan2 a =2tan a-tarA2( a ) 半角公式半角的正弦、余弦和正切公式 (降幂扩角公式 ) sinA2( a /2)=(Cos a)COsA2( a /2)=(1+cos a )/2tan八2( a /2)=(1cos a )/(1+C0S a )另也有tan( a /2)=(1cos a )/sin 万能公式sin a =2tan( a /2)/1+tan2( a /2) cos a =1tan2( a /2)/1+tan2( a /2) tan a =2tan( a /2)anA2( a /2) 万能公式推导附推导:sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /(cosA2( a )+sinA2( a ) (因为 cosA2( a )+sinA2( a )=1) 再 把 * 分 式 上 下 同 除 cosA2( a), 可 得得到。
三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a =3sin-4sainA3( a ) cos3 a =4cosA3( - 3ac)o s atan3 a =3tan -taanA3( a )/-13tanA2( a ) 三倍角公式推导附推导:a =sin a /(1+cos a ) sin2 a =2tan a /(1+tanA2( 然后用a /2代替a即可同理可推导余弦的万能a ) 正切的万能公式可通过正弦tan3 a二sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos a +cos2 a sin=(2sin a cosA2( a )+cosA2( -asin)As3in( a )/(cosA3( - a=(2cosA2( a- 1) cos -a2cos a sinA2( a ) =2cosA3( a- c)os a +(2cos - 2acosA3( a ) =4cosA3( a3cos a即sin3 a =3sin-4sainA3( a ) cos3 a =4cosA3( - 3ac)os a三倍角公式联想记忆记忆方法:谐音、联想正弦三倍角: 3 元减4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣( 音似“正弦” )上下同除以cosA3( a ) ,得:tan3 a =(3tan -taanA3( a )/-(13tanA2( a ) sin3 a =sin(2 a+a )=sin2 a cos a +cos2 =2sin a cosA2( a-)2+s(i1nA2( a )sin a=2sin a-2sinA3( a )+sin-2sianA3( a) =3sin a-4sinA3( a) cos3 a =cos(2 a+a )=cos2 - asinc2os a sin a)sin aa SinA2( -2s)2( a )cos aa )/(co s-2s i n 2 aacsoisn aa ) cos 钱”tan3 a二sin3 a /cos3 a余弦三倍角: 4 元 3 角减 3 元(减完之后还有“余”)注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。
另外的记忆方法:正弦三倍角:山无司令(谐音为三无四立)三指的是3 倍无指的是减号,四指的是4倍,立指的是sin立方余弦三倍角:司令无山与上同理和差化积公式三角函数的和差化积公式sin a +sin 3 =2sin( a+3)Z2p )/2 cos( asin -sin 3 =2cos( a + 3 )/2- 3 )/2n( acos a +cos 3 =2cos( a+ 3)/2- 3 ”2jos( acos 优cos 3=2sin( a + 3 )/2 - 3 s/2( a积化和差公式三角函数的积化和差公式sin a - cos 3 =0.5sin( a- + 3) )+sin( acos a - sin 3 =0.5sin-sin( aO+月)cos a - cos 3 =0.5cos( a + 3 )+coS(asin a - s-T0.5c=s( a-cos) a3 ) sin a,sin(a- 和差化积公式推导附推导:首先 , 我 们知 道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb ,b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb ,cos(a- b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a- b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。
我们把上述四个公式中的a+b设为x, a-b设为y,那么a=(x+y)/2 ,b=(x-y)/2 把a,b 分别用x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)精心整理,仅供学习参考cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 。
