全国高中数学联赛广西赛区预赛试题详细解答().docx

    全国高中数学联赛广西赛区预赛试题详细解答(word版)    2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题（考试时间： 2015 年5月17 日上午 8 : 30 一 10 : 30 )注意：1．所有答题均写在密封线右边，写在其他纸上一律无效；2．密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记．一、填空题（本大题共10小题，每小题8分，共80分，请将答案填写在下面答题卡相应的横线上） 1．函数y =的最小值是 ．解析：定义域为(,0][1,)-∞+∞，设2237()2322()48f x x x x =-+=-+，2211()()24g x x x x =-=--．∵当0x ≤时()f x 单调递减，()g x 单调递减， ∵当0x ≤同理，当1x ≥0x =时函数值y =,当1x =时y =，而当x →+∞时, y →+∞，∴min 1y =．2．11110291011111166661C C C ++++-被8除所得余数是 ．解析：原式＝1111(61)272=+-=-．∵111172713-=+-109(71)(7771)3=+-+-+-1098(777)5=-+-+，∴原式被8除余数为5．3．己知实数,,x y z 满足24,2x y z xy yz zx ++=++=，则z 的取值范围是 ．解析：由己知得42,2()x y z xy z x y +=-=-+，由2()4x y xy +≥,将前面两个式子代入得220z -≤得z ≤≤4．己知数列｛n a｝的通项公式为*)n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列122015,,,S S S 中,有理数项共有 项．解析：∵k a ===,∴111n nn k k k S a =====∑∑．45=,∴222212,3,4,,44n +=,从而122015,,,S S S 中只有43个有理项．5．四面体A-BCD 中，A-BCD 的外接球半径为 ．解析：∵构造棱长分别为3、4、5的长方体，则四面体A-BCD 的外接球即为长方体的外接球，∴22R R ===6．函数2y a x b x c =++的图像是开口向下的抛物线，,,a b c 互异，且都在集合{|||5,}A n n n Z =≤∈中取值，则这些抛物线中通过点（0，-l ）的有 个．解析：∵抛物线过点（0，-l), ∴1c =-, ∴A ={-5,-4,-3,-2，-1, 0, 1,2,3,4, 5},∴a 只能从-5，-4，-3，-2中取一个有14C 种取法，b 则有19C 种取法，由乘法原理共有14C 19C =36种可能．7．△ABC 内有2015个点，加上三个顶点，共有2018个点．把这些点连线，形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数是 ．解析：∵112,3n n a a a +=+=,∴20153(1)221,4031n a n n a =+-?=+=．8．在锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边长依次为,,a b c , 若22cos cos cos b B ac A C≥，则∠B 的取值范围是 ．解析：∵22cos cos cos b B ac A C ≥，∴22222222222()222c a b b ca b c a a b cac bc ab+-≥+-+-?， 442222222222c a c a b c a c a c a +≥=+-++，∵222221cos 22c a b ca B ca c a +-=≤=+，∴[,)32B ππ∈．9．设复数123(2)(1),(32)(23),(3)(32)z a b i z a b i z a b i =-+-=+++=-+-，其中,a b R ∈，当123||||||z z z ++取得最小值时，34a b += ．解析：∵易求得12386z z z i ++=+, 123123||||||||10z z z z z z ++≥++=,∴123||||||z z z ++取得最小值，当且仅当23238123326a a ab b b -+-===-+-．解得75,,341234a b a b ==+=．10．正整数500n ≤，具有如下性质：从集合｛1, 2，…，500｝中任取一个元素m ，若m 整除n 的概率是1100，则正整数n 的最大值是 ．解析：∵由题设n 恰有5个约数，设n 的质因数分解是11k kn p p αα=，∴n 的约数个数为12(1)(1)(1)5,k n ααα+++=具有4p 的形式．∵44381,5625500==>，∴n 的最大值为 81．二、解答题（本大题共3小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11. （本小题满分20分）设,,a b c R +∈，且3a b c ++=，求444222a b c b c c a a b+++++的最小值．解：由柯西不等式知4442222222222()()()a b c b c c a a b a b c b c c a a b+++++++≥+++++，∴44422222222222222222()()3a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c ++++++≥=+++++++++++． 令222a b c x ++=，∴22221()33x a b c a b c =++≥++=，∴44422223a b c x b c c a a b x ++≥++++． 设2()(3)3x f x x x =≥+，∴2'26()0(3)x x f x x +=≥+，∴()f x 在[3,)+∞单调递增． ∵3()(3)2f x f ≥=，∴44422232a b c b c c a a b ++≥+++．∴当且仅当1a b c ===取到最小值，所求最小值为32． 12. （本小题满分 25 分）如图，已知PA 、PB 是由O 外一点P 引出的两条切线， M 、N 分别是线段AP 、AB 的中点，直线MN 交⊙O 于C 、 E 两点，点N 在M 与C 之间， PC 交⊙O 于点D，延长ND 交PB 于点Q ．证明：四边形MNQP 为菱形．证明：连结,,,OP OA OC EP ，显然,,O P N 三点共线， 且OP AB ⊥，所以N 是AB 中点，由M 是PA 的中点，故MN MP MA==，MNPQ ． ……………………(5分)22PM AM ME MC ==?，所以 MPE ?∽MCP ?，MCP MPE ∠=∠．……………………(10分) 又,,,O A P B 四点共圆，ON PN AN BN CN EN ?=?=?，故,,,O C P E 四点共圆，OCN EPN ∠=∠． ……………………(15分) PAO ?是直角三角形，有2PN PO PA PD PC ?==?，于是,,,C D N O 四点共圆． ……………………(20分) QNP PCO MCP MCO MPE EPN APN ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所以M NPQ ，四边形MNQP 是菱形. ……………………(25分)13.（本小题满分25分）动点P 在椭圆22(1)(0)x a y a a +-=>上移动时，求连结原点O 和点P 所得线段长的最大值．解：设点(,)P x y 22(1)11y -=，∴椭圆的中心在（0, l)，,x y 满足：2x y ≤≤≤．∵22222222(1)(21)(1)2OP x y a a y y a a y y y a y ay =+=--+=--++=-+．∴在条件02y ≤≤下，22(1)2OP a y ay =-+的最大值可作如下分析：(l)当01a <<时，∵222(1)2(1)2224OP a y ay a a =-+≤-?+?=，∴2y =时，max |2OP =；（2）当1a >时，∵2222(1)2(1)()11a a OP a y ay a y a a =-+=--+--，∴在221a a ≤-时，即在2,1a a y a ≥=-，max |OP =12a