傅里叶级数课程习题讲解（最全）.pdf

第第 1515 章章傅里叶级数傅里叶级数 15.115.1傅里叶级数傅里叶级数一一基本内容基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中f(x)anxnn1，可视为f(x)经函数系1,x,x2,L,xn,L2n线性表出而得不妨称1,x,x,L,x,L 为基，则不同的基就有不同的级数今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数1三角函数系函数列1,cosx,sin x,cos2x,sin2x,L,cosnx,sin nx,L称为三角函数系 其有下面两个重要性质(1)周期性 每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2)正交性 任意两个不同函数的积在,上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零对于一个在,可积的函数系un(x):xa,b,n 1,2,L，定义两个函数的内积为un(x),um(x)un(x)um(x)d xab，l 0m nun(x),um(x)0m n，则称函数系un(x):xa,b,n 1,2,L为正交系如果由于1,sinnx 1sinnxd x 1cosnxdx 0；m nsinmx,sinnx sinmxsinnxdx 0 m n；m ncosmx,cosnx cosmxcosnxd x 0 m n；sinmx,cosnx sinmxcosnxdx 0，；1,1 12dx 2所以三角函数系在,上具有正交性，故称为正交系利用三角函数系构成的级数a0ancosnx bnsinnx2n1称为三角级数，其中a0,a1,b1,L,an,bn,L为常数2以2为周期的傅里叶级数定义 1设函数f(x)在,上可积，ak1f(x),coskx 11f(x)coskxdxk 0,1,2,L；bk1f(x),sinkx f(x)sin kxdxk 1,2,L，称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数a0ancosnx bnsinnx2n1称为f(x)的傅里叶级数，记作a0ancosnx bnsinnxf(x)2n1这里之所以不用等号，是因为函数f(x)按定义 1 所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于f(x)二、傅里叶级数收敛定理定理 1若以2为周期的函数f(x)在,上按段光滑，则a0f(x 0)f(x 0)ancosnx bnsinnx2n12，其中an,bn为f(x)的傅里叶系数定义 2如果f(x)Ca,b，则称f(x)在a,b上光滑若xa,b),f(x 0),f(x 0)存在；x(a,b,f(x 0)，f(x 0)存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f(x)在a,b上按段光滑几何解释如图按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点,上按推论 如果f(x)是以2为周期的连续函数，且在xO段光滑，则xR，y角点a0f(x)ancosnx bnsinnx2n1有定义 3设f(x)在(,上有定义，函数f(x)x(,f(x)f(x2k)x(2k,2k,k 1,2,L称f(x)为的周期延拓二二习题解答习题解答1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1)f(x)x,(i)x,(ii)0 x 2；解：解：(i)、f(x)=x，x(,)作周期延拓的图象如下y3O3x其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得11a0f(x)d x 11anxcosnxdx xd(sinnx)n当n 1时，11xsinnx|sinnxdx 0nn，xdx 01xd(cosnx)n11n12xcosnx|cosnxdx (1)nnn，sinnxf(x)2(1)n1n，x(,)为所求n1所以bn1xsinnxdx(ii)、f(x)=x，x(0,2)作周期延拓的图象如下2yO24x其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得121a0f(x)d x 200 xdx 220当n 1时，121anxcosnxdx 0n2xd(sinnx)，211xsinnx|0nn0sinnxdx 012bnxsinnxdx xd(cosnx)0n021122xcosnx|cosnxdx 0nn0n，21所以f(x)2sinnxn，x(0,2)为所求n12f(x)=x,(i)-x,(ii)0 x2；(2)2解：解：(i)、f(x)=x，x(,)作周期延拓的图象如下yO3其按段光滑，故可展开为傅里叶级数3x由系数公式得a0122f(x)d x x dx 312当n 1时，11anx2cosnxdx nx2d(sinnx)121x sinnx|2xsinnxdxnn22xd(cosnx)n2242xcosnx|2cosnxdx (1)n2nnn，112bnx2sinnxdx x d(cosnx)n122x cosnx|xcosnxdxnn22xd(sinnx)n222xsinnx|2sinnxdx 0nn，f(x)所以23 4(1)nn1sinnxn2，x(,)为所求2解：解：(ii)、f(x)=x，x(0,2)作周期延拓的图象如下y422其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得O4xa0120f(x)d x 12082x dx 32当n 1时，121anx2cosnxdx 0n20 x2d(sinnx)21212x sinnx|2xsinnxdx0nn0222xd(cosnx)n0222242xcosnx|2cosnxdx 20nn0n，12122bnx2sinnxdx x d(cosnx)0n021222x cosnx|xcosnxdx0nn0422 2xd(sinnx)nn0224224 2xsinnx|2sinnxdx 0nnn0n，42cosnxsinnxf(x)42x(0,2)23nn，n1所以为所求ax x 0f(x)(a b,a 0,b 0)bx0 x(3)解：函数f(x)，x(,)作周期延拓的图象如下O3其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得11a0f(x)d x 0y3xaxdx 10bxdx(ba)2当n 1时，101anax2cosnxdx0bxcosnxdx1(1)nbn1abn210axsinnxdx0bxsinnxdxabn(ba)2(ba)1f(x)cos(2n1)x24(2n1)n1所以sinnx(a b)(1)n1n，x(,)为所求n1(1)n12设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c，有anbnc11c2f(x)cosnxdx11f(x)cosnxdx,n0,1,2,Lf(x)sin nxdx,n 1,2,L，c2cf(x)sin nxdx 证：证：因为f(x)，sinnx，cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令t x 2有c1f(x)cosnxdxf(t 2)cosn(t 2)d(t 2)c21 c+21 c+2f(t)cosntdt f(x)cosnxdxc1从而an1c2cf(x)cosnxdxan1c2cf(x)cosnxdx11f(x)cosnxdx1 c+2f(x)cosnxdxf(x)cosnxdx1f(x)cosnxdxc2同理可得bn1cf(x)sin nxdx 1f(x)sin nxdx x04f(x)0 x 43把 函 数展 开 成 傅 里 叶 级 数，并 由 它 推 出(1)1111L4357；111111L57111317(2)3；3111111L57111317(3)6解：解：函数f(x)，x(,)作周期延拓的图象如下3y2O23x其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得11a0f(x)d x 1dx4004dx 0当n 1时，anbn1cosnxdx41004cosnxdx 01sinnxdx 41004sinnxdx111(1)n2n0n1n 2k 1n 2k，故f(x)1sin(2n 1)x,x(,0)U(0,)n12n 1为所求1111L2，则4357(1)取；1111L357(2)由4得1111L12391521，111111L57111317于是3412；x(3)取x 3，则43 111111L257111317，3111111L57111317所以64设函数f(x)满足条件f(x)f(x)，问此函数在,内的傅里叶级数具有什么特性解：因为f(x)满足条件f(x)f(x)，所以f(x 2)f(x)f(x)，即f(x)是以2为周期的函数于是由系数公式得11a0f(x)d x 0f(x)d x 010f(x)d x110f(t)d t 1f(x)d x10f(t 2)d t f(t)d t 10f(x)d x010f(x)d x 0当n 1时，101anf(x)cos nxdx0f(x)cosnxdx10f(t)cos(nx n)d x10f(x)cos nxdx1(1)n1f(x)cosnxdx0 2f(x)cosnxdx00bn1n2k 1n2k10f(x)sin nxdx0f(x)sin nxdx 2f(x)sinnxdx00n2k 1n2k，故当f(x)f(x)时，函数f(x)在,内的傅里叶级数的特性是a2k 0，b2k 05设函数f(x)满足条件：f(x)f(x)，问此函数在,内的傅里叶级数具有什么特性解：因为f(x)满足条件f(x)f(x)，所以f(x 2)f(x)f(x)，即f(x)是以2为周期的函数于是由系数公式得1101a0f(x)d x f(x)d x f(x)d x011f(t)d t f(x)d x0011f(t 2)d t f(x)d x00112f(t)d t f(x)d x f(x)d x000当n 1时，101anf(x)cos nxdx0f(x)cosnxdx10f(t)cos(nx n)d xn10f(x)cos nxdx1(1)0f(x)cosnxdx 20f(x)cosnxdx0bn1n2kn2k 110f(x)sin nxdx0f(x)sin nxdx 20f(x)sinnxdx0n2kn2k 1，故当f(x)f(x)时，函数f(x)在,内的傅里叶级数的特性是a2k1 0，b2k1 06试证函数系cosnx,n0,1,2,L和sinnx,n 1,2,L都是0,上的正交函数系，但他们合起来的却不是0,上的正交函数系证：证：就函数系1,cosx,cos2x,L,cosnx,L，因为n，1,1 dx 0，cosnx,cosnx cos2nxdx 00又m,n，m n时，1(cos2nx1)dx 202，1,cosnx cosnxdx 0；cosmx,cos nx cosmxcosnxdx011cos(mn)xdxcos(mn)xdx 02020所以1,cosx,cos2x,L,cosnx,L 在0,上是正交系就函数系sin x,sin2x,L,sinnx,L，因为n，0sinnx,sin nx 1sin nxdx(1cos2nx)d x 202，2又m,n，m n时，sinmx,sin nx sinmxsinnxdx011cos(mn)xdxcos(mn)xdx 00022所以sin x,sin2x,L,sinnx,L 在0,上是正交系 但1,sin x,cosx,sin2x,cos2x,L,sinnx,cosnx,L 不是0,上的正交系实因：1,sinx sinxdx 1 007求下列函数的傅里叶级数展开式,0 x 22(1)；xf(x),0 x 22解：解：y作周期延拓的图象如下f(x)x42232其按段光滑，故可展开为傅里叶级数由系数公式得O24xa0120f(x)d x 120 x2dx 0当n 1时，12 x1ancosnxdx 02n20 x2d(sinnx)，2 x1sinnx|02n2n20sinnxdx 0bn12 xd(cosnx)02n0222 x11 cosnx|cosnxdx 02n2n0n，12 xsinnxdx 所以f(x)sinnxn，x(0,2)为所求n1(2)f(x)1cosx,x；解：f(x)1cosx,x 作周期延拓的图象如下2yO23其按段光滑，故可展开为傅里叶级数23xx2sin x0 x2f(x)1cosx 2sin2x2 2sin0 x2因为，所以由系数公式。