2015届高考数学（苏教版-文）一轮配套学案：第4篇 第2讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式.doc

第2讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式知 识 梳 理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2_α＋cos2_α＝1.(2)商数关系：＝tan_α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与α角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称续表角π－α－α＋α图示与α角终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋α－α＋α正弦sin α－sin_αsin_α－sin_αcos_αcos_α余弦cos αcos_α－cos_α－cos_αsin_α－sin α续表正切tan α－tan_α－tan_αtan α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限辨 析 感 悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin2 α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(×)(3)(教材练习改编)已知sin α＝，α∈，则cos α＝.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×)3．诱导公式的应用(7)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(×)(8)(2013·广东卷改编)已知sin＝，则cos α＝－.(×)[感悟·提升]1．一点提醒　平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)．2．两个防范　一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定.考点一　同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则＝_______________________________________________________________，4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝________.(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝，且＜θ＜，则cos θ－sin θ的值为________．解析　(1)＝＝＝－1，4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝＝1.(2)当＜θ＜时，sin θ＞cos θ，∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，∴cos θ－sin θ＝－.答案　(1)－1　1　(2)－规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝，0＜α＜π，则tan α＝______.(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________.解析　(1)法一　联立方程由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.又0＜α＜π，∴∴tan α＝－.法二　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝，由得∴tan α＝－.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cos α＝±.答案　(1)－　(2)±考点二　利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.解析　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.(2)∵f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝＝.答案　(1)1　(2)规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．(2)诱导公式应用的步骤：→→→注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：＝________.解析　(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180°＝0＋0＝0.(2)原式＝＝＝＝－＝－·＝－1.答案　(1)0　(2)－1考点三　利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin＝，则cos＝______；(2)已知tan＝，则tan＝________.解析　(1)∵＋＝，∴cos＝cos＝sin＝.(2)∵＋＝π，∴tan＝－tan＝－tan＝－.答案　(1)　(2)－规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等．【训练3】 (1)已知sin＝，则cos＝________；(2)若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________.解析　(1)cos＝cos＝cos＝－cos，而sin＝sin＝cos＝，所以cos＝－.(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝.答案　(1)－　(2)1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2 θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2 θ)＝tan .　　　　　　　　　　　　　　　　　　方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】 (2012·辽宁卷改编)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________. [一般解法] 由得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，即2＝0，∴cos α＝－.又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.[优美解法] 法一　因为sin α－cos α＝，所以sin＝，所以sin＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝，所以tan α＝－1.法二　因为sin α－cos α＝，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝，所以α＝，所以tan α＝－1.[答案] －1[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．【自主体验】(2013·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．解析　法一　∵0＜θ＜，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，∴sin θ－cos θ＝－.法二　∵sin θ＋cos θ＝，且θ∈.∴θ＋∈，sin θ＋cos θ＝sin ＝，即sin＝，又cos＝＝＝，∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－cos＝－.答案　－基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α＝________.解析　因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝.答案　2．(2014·合肥模拟)sin 585°的值为________．解析　sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.答案　－3．(2014·郑州模拟)＝________.解析　＝＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案　sin 2－cos 24．若3sin α＋cos α＝0，则的值为________．解析　由已知得tan α＝－，则＝＝＝＝.答案　5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则＝________.解析　由5x2－7x－6＝0，得x＝－或2.∴sin α＝－.∴原式＝＝＝.答案　6．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．解析　∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.∴cos＝－sin A＝.答案　7．sin π·cos π·tan的值是________．解析　原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.答案　－8．(2013·江南十校第一次考试)已知sin＝，且－π＜α＜－，则cos。