1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案.pdf

1978 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 理科考生五 六两题选做一题 奎屯 王新敞 新疆文科考生五 六两题选做一题 不要 求做第七题 奎屯 王新敞 新疆 一 下列各题每题一 下列各题每题 4 4 分 五个题共分 五个题共 2020 分 分 1 分解因式 x 2 4xy 4y2 4z2 解 原式 x 2y 2 2z 2 x 2y 2z x 2y 2z 2 已知正方形的边长为a 求侧面积等于这个正方形的面积 高等于 这个正方形边长的直圆柱体的体积 奎屯 王新敞 新疆 解 设底面半径为 r 则底面周长 2 r a 则 42 2 2 2 2 a a a ar a r 体积 3 求函数 2lg xy 的定义域 奎屯 王新敞 新疆 解 lg 2 x 0 2 x 1 故 x 1 为其定义域 奎屯 王新敞 新疆 4 不查表求 cos80 0cos350 cos100cos550 的值 奎屯 王新敞 新疆 解 原式 sin10 0cos350 cos100sin350 sin 100 350 sin450 2 2 5 化简 二二 本题满分 本题满分 1414 分 分 已知方程 kx 2 y2 4 其中 k 为实数 奎屯 王新敞 新疆对于不同范围的 k 值 分别指 25 4 1 0 4 4 1 2 1 2 1 432 31 2 1 b ba ab 原式解 出方程所代表图形的内形 并画出显示其数量特征的草图 奎屯 王新敞 新疆 解 1 k 0 时 方程的图形是椭圆 中心在坐标原点 此时又可分 为 k 1 时 长轴在 y 轴上 半长轴 2 半短轴 k 2 k 1 时 为半径 r 2 的圆 k 1 时 长轴在 x 轴上 半长轴 k 2 半短轴 2 奎屯 王新敞 新疆 如图 2 k 0 时 方程为 y 2 4 奎屯 王新敞 新疆图形是两条平行于 x 轴的直线 2 y 如图 奎屯 王新敞 新疆 3 k 0 时 方程为 这时图形是双曲线 中心在坐标原点 实轴在 y 轴上 奎屯 王新敞 新疆如图 三 本题满分三 本题满分 1414 分 分 如图 AB 是半圆的直径 C 是半圆上一点 直线 MN 切半圆于 C Y Y Y k 2 A k 1 0 2 k 1 4 O A X O B X O X Y Y y 2 k 4 A O O X B X y 2 1 4 4 22 y k x 点 AM MN 于 M 点 BN MN 于 N 点 CD AB 于 D 点 求证 1 CD CM CN 2 CD 2 AM BN 1 证 连 CA CB 则 ACB 90 0 奎屯 王新敞 新疆 ACM ABC ACD ABC ACM ACD 奎屯 王新敞 新疆 AMC ADC CM CD 同理 CN CD 奎屯 王新敞 新疆 CD CM CN 奎屯 王新敞 新疆 2 CD AB ACD 90 0 奎屯 王新敞 新疆 CD 2 AD DB 由 1 知 AM AD BN BD 奎屯 王新敞 新疆 CD 2 AM BN 奎屯 王新敞 新疆 四 本题满分四 本题满分 1212 分 分 1836 18 181818 36 181818 log 9 2 185 log45 185 log 5 log 5 9log 5log 9 log45 log 18 2log 18log 22 b b a a b ab a 已知求 解 五 本题满分五 本题满分 2020 分 分 已知 ABC 的三内角的大小成等差数列 tgAtgC 32 求角 A B C 的大小 奎屯 王新敞 新疆又已知顶点 C 的对边 c 上的高等于 34 奎屯 王新敞 新疆求三角形各边a b c 的长 提示 必要时可验证324 31 2 M C N A B D 2 12 1802 60 120 23 1 tgAtgC 1 tgAtgC tg AC 1 3 3 33 2 1 2 tgA tgCx 33 230 1 23 1 23 45 ABCBACBAC tgAtgC x xxACtgAtgC AC 解又 而 由可知是的两根解这方程得 设则得 1204575 4 34 3 4 3 8 4 6 sin60sin45 cos45cos604 34 cab cADDBba 又知 上的高等于 六 本题满分六 本题满分 2020 分 分 222 222242 2 3sin2sin1 3sincos2 3 3sin22sin20 sin2sin23sincos 2 sin 2cos9sincos9sin9sin1 1 sin 3 sin 2 sincos2cossin2sin 3sin cos 3sincos 由得 由得 为锐角 22 3sin sincos 3sin1 2 七 本题满分七 本题满分 2020 分 文科考生不要求作此题 分 文科考生不要求作此题 已知函数 y x 2 2m 1 x m2 1 m 为实数 1 m 是什么数值时 y 的极值是 0 2 求证 不论 m 是什么数值 函数图象 即抛物线 的顶点都在同 一条直线 L1上 奎屯 王新敞 新疆画出 m 1 0 1 时抛物线的草图 来检验这个结论 奎屯 王新敞 新疆 3 平行于 L1的直线中 哪些与抛物线相交 哪些不相交 求证 任 2 2 0 2sin2 3sin2 1sin2sin3 22 求证 且为锐角已知 一条平行于 L1而与抛物线相交的直线 被各抛物线截出的线段都相等 奎屯 王新敞 新疆 解 用配方法得 2 214545 244 5 0 450 4 2145 2 24 2m 11455 x 2244 3 4 mmm yxy mm mm m mym xy mm 的极小值为 所以当极值为 时 函数图象抛物线的顶点坐标为 即 二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条 直线 方程中不含因此 不论 是什么值 抛物线的顶点都在这条 222 1 0 1 115193 424242 mx y yxyxyx 直线上 当时之间函数关系为 图略 3 设 L x y a为任一条平行于 L1的直线 奎屯 王新敞 新疆 与抛物线 y x 2 2m 1 x m2 1 方程联立求解 消去 y 得 x 2 2mx m2 1 a 0 x m 2 1 a 奎屯 王新敞 新疆 因而当 1 a 0 即a 1 时 直线 L 与抛物线相交 而a 1 时 直线 L 与抛物线不相交 奎屯 王新敞 新疆 而这与 m 无关 奎屯 王新敞 新疆 因此直线 L 被各抛物线截出的线段都相等 奎屯 王新敞 新疆 一九七八年副题 1 222 1 1 45 1 1 1 1 1 aamamL L amam Lamxa 于被抛物线截出的线段等直线 它的倾斜角为的斜率为因直线 为与抛物线两交点横坐标即直线时当 1 1 分解因式 x 2 2xy y2 2x 2y 3 解 原式 x y 1 x y 3 2 求的值 6 5 cos 4 030sin 2 ctgtg 解 原式 3 4 奎屯 王新敞 新疆 4 已知直圆锥体的底面半径等于 1cm 母线的长等于 2cm 求它 的体积 奎屯 王新敞 新疆 解 3 3 121 3 1 322 cmV 3 5 9 125 30 500 1 52 10 5 2 1 2 1 2 1 1 的值计算 解 原式 30 奎屯 王新敞 新疆 2 已知两数 x1 x2满足下列条件 1 它们的和是等差数列 1 3 的第 20 项 2 它们的积是等比数列 2 6 的前 4 项和 奎屯 王新敞 新疆 求根为 21 1 1 xx 的方程 奎屯 王新敞 新疆 略解 x1 x2 39 x1x2 40 奎屯 王新敞 新疆故 1 x1 1 x2 39 40 奎屯 王新敞 新疆 1 x1 1 x2 1 40 所求方程为 40 x 2 39x 1 0 3 已知 ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于 D 点 求证 为所求之定义域且且解 的定义域求函数 12 01 0525 1 525lg 3 xxx x y x x CD BD AC AB ACD ABC 2 2 的面积 的面积 证 因为 AD 是 ABC 的外接圆的切 线 所以 B 1 ABD CAD 2 2 AC AB ACD ABC 的面积 的面积 作 AE BD 于点 E 则 2 1 2 1 CD BD AECD AEBD ACD ABC 的面积 的面积 4 如图 CD 是 BC 的延长线 AB BC CA CD a DM 与 AB AC 分别 交于 M 点和 N 点 且 BDM 奎屯 王新敞 新疆 求证 tg atg CN tg atg BM 3 4 3 4 证 作 ME DC 于 E 由 ABC 是等 边三角形 在直角 MBE 中 13 22 3 4 2 1 3 2 2 BEBM MEBM BM MEatg tgBM EDtg aBM 类似地 过 N 作 NF BC 于 F 在直角 NFC 中 可证 tg atg CN 3 4 5 设有 f x 4x 4 4px3 4qx2 2p m 1 x m 1 2 p 0 求证 A 1 B E C D A M N B E F D 1 如果 f x 的系数满足 p 2 4q 4 m 1 0 那么 f x 恰好是一个二次 三项式的平方 奎屯 王新敞 新疆 2 如果 f x 与 F x 2x 2 ax b 2表示同一个多项式 那么 p 2 4q 4 m 1 0 奎屯 王新敞 新疆 2 22 4322 22 22222 22 2222 2 22 4 1 1 4 44 4442 44 44 2x 4 2 44 44 2x 2 2x 44 4 2x 4 pq m pqpq f xxpxqxpx pqpq pxpq xpx pqpq pxpx pq px f x 证 等于一个二次三项 432222 43222 2 22 2 2 4442 1 1 2 44 4 2 44 1 44 2 2 1 2 3 1 4 4 1 2 4 3 xpxqxp mmxaxb xaxab xabxb pa qab p mab mb qp apb a b 式的平方 由可得代入得 将的表达式代入 2 22 4 2 1 2 4 44 1 0 0 44 1 0 qp p mp p pqmppqm 得 6 已知 asinx bcosx 0 Asin2x Bcos2x C 其中a b 不同时为 0 奎屯 王新敞 新疆 求证 2abA b 2 a 2 B a 2 b2 C 0 2222 cos sin ba a y ba b y 设证 则 可写成 cosysinx sinycosx 0 sin x y 0 x y k k 为整数 x y k 又 sin2x sin2 y k sin2y 2sinycosy 22 2 ba ab cos2x cos2y cos 2y sin2y 22 22 ba ba 代入 得 22 2222 2222 2 2 0 abAabB C abab abAbaBab C 7 已知 L 为过点 P 2 3 2 33 而倾斜角为 30 0的直线 圆 C 为中心在 坐标原点而半径等于 1 的圆 Q 表示顶点在原点而焦点在 0 8 2 的抛 物线 奎屯 王新敞 新疆设 A 为 L 和 C 在第三象限的交点 B 为 C 和 Q 在第四象限的交点 奎屯 王新敞 新疆 1 写出直线 L 圆 C 和抛物线 Q 的方程 并作草图 奎屯 王新敞 新疆 2 写出线段 PA 圆弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式 奎屯 王新敞 新疆 3 设 P B 依次为从 P B 到 x 轴的垂足 奎屯 王新敞 新疆求由圆弧 AB 和直线段 BB B P P P PA 所包含的面积 奎屯 王新敞 新疆 解 1 直线 L 圆 C 和抛物 线 Q 的方程为 22 2 3 3 1 2 x 2 L yx C xy Q y 草图如图 Y O X B Q L P A C 2 由 22 1 3 3 3 2 1 33 33 322 yx Ax 。