数学北师大版八年级下册等边、等腰三角形

1、12.3.2 等边三角形,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。,相等的两条边AB和AC叫做腰; 另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角ABC和ACB叫做底角.,如图，ABC中,AB=AC，那么ABC就 是等腰三角形。,只有等腰三角形才有底角和底边.,设问：你发现了什么现象，,猜一猜,猜想等腰ABC有哪些性质？,角: B = C BAD=CDA ADC= ADB=900,边: BD = CD, 两个底角相等 AD为顶角BAC的平分线 AD为底边BC上的高 AD为底边BC上的中线,结论: 等腰三角形是轴对称图形；,等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）,练习,1.判断下列语句是否正确。,（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （2）有一个角是60的等腰三角形，其它两个 内角也为60. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）,等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.

2、,等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为 _.,等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_., 顶角+2底角=180, 顶角=1802底角, 底角=（180顶角）2,0顶角180 0底角90,结论:在等腰三角形中,40 ,35 ，35 ,70,40或55,55,4. 根据等腰三角形的性质,在ABC中， AB=AC时，,(1) ADBC，_ = _，_= _.,(2) AD是中线，_ ，_ =_.,(3) AD是角平分线，_ _ ，_ =_.,BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。,解：相等，理由如下： 连接AD 在ABC中， AB=AC，D为C中点 AD平分BAC DEAB，DFAC DE=DF,等腰三角形,等边三角形,一般 三角形,定义：三条边 都相等的三角形叫做等边三角形。,特殊的等腰三角形,一般三角形,等腰 三角形,等边三角形,底腰,底腰,有二条边相等,(正三角形),等边三角形的性质,2.等边三角形的内角都相等,且每一个内角都等于6

3、0 ,3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.,4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.,1 .三条边相等,A,B,C,三个角都相等的三角形是等边三角形。,已知： A= B=C 求证： AB=AC=BC, A= B AC=BC B=C AB=AC AB=AC=BC,证明：,推理过程：, A= B=C AB=AC=BC,判定1：,有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形,A,B,C,已知： AB=AC A= 60。 求证： AB=AC=BC,已知： AB=AC B= 60。 求证： AB=AC=BC,证明：,AB=AC A= 60 。 BC (180。 A)= 60。 A= B=C AB=AC=BC,数学格式:,AB=AC A= 60。 AB=AC=BC,1,2,证明：,AB=AC B= 60。 B= C= 60。 A=180。B C= 60。 A= B=C AB=AC=BC,判定2：,三个角都相等的三角形是等边三角形.,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,等边三角形的判定方法:,1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都相等的三角形是等边三角形. 3.有

4、一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,试一试你能行,.下列四个说法中，不正确的有( ）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有两个角等于60的三角形是等边三角形。 有一个是60的等腰三角形是等边三角形。 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。,试一试你能行,、等边三角形的对称轴有（ ） （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条 3、等腰三角形的对称轴有（ ） （A）1条（B）2条（C）3条（D）1或3条,（选择）,D,4、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ ） （A）3条（B）6条（C）9条（D）7条,4.如图，等边三角形中， 是上的高， ， 图中有哪些与BD相等的线段？,想一想,课外活动小组在一次测量活动中,测得APB60APBP200cm,他们便得到了一个结论:池塘最长处不小 于200cm.他们 的结论对吗?,B,例1,如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，ADE是等边三角形吗？试说明理由。,A,B,C,D,E,你还有其它方法 使ADE是等边三 角形吗？,探究,如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD

5、=AE，ADE是等边三角形吗？试说明理由。,探究,作ADE60，D、E分别在边AB、AC上.,过边AB上D点作DEBC，交边AC于E点.,5.如图, ABC为等边三角形, 1= 2= 3 (1)求EDF的度数. (2)DEF为等边三角形吗?为什么?,1,2,3,已知ABC是等边三角形,D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF. 试说明 DEF是等边三角形.,变式,在等边ABC的边AB、AC、 BC上取AE=BD=CF，AD、BF、 CE分别交于N、G、M. 求证：MNG是等边三角形,E,D,F,M,N,G,变式,6.如图，ABC是等边三角形，P、Q分别是AC、BC上的 点，且AP=CQ，AQ与BP交于点M。求BMQ的度数。,7.如图,已知ABC是等边三角形，D是AC的中点，ECBC，且EC=BD。 求证：ADE是等边三角形,小结,我们这节课学习了哪些知识? 谈谈你的体会.,等边三角形的性质:,三个角都相等，且都为60,三线合一,三条边都相等,轴对称图形，有三条对称轴,等边三角形的判定:,三个角都等于60的三角形,三条边都相等的三角形,有一个角等于60的等腰三角形,例题讲解,例2

6、. 如图，等边三角形ABC中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点O。 （1）AOB， BOC和AOC有什么关系？,（2）求AOB,BOC，AOC的度数， 将ABC绕点 O旋转，问要 旋转多少度，就能和原来的三角形重合（只要求说出一个旋转度数）？,这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴,将此图变成四个等边三角形.,提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么 想想里面吧.,考考你,，在等边ABC所在的平面上找一点P，使 PAB、 PBC、 PAC都是等腰三角形，你能找到这样的点P吗？ 能找到多少个？这些点的位置有什么特点？,练一练,如图，ABD、AEC都是等边三角形， 求证：BE=DC,A,B,C,D,E,F,M,N,已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.,已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.,(1)AE与CD相等吗?说明理由.,证明:,ABD和BCE为等边三角形 DB=

7、AB BC=BE ABD=EBC= 60 ABD+DBE=DBE+EBC 即ABE=DBC 在ABE和DBC中 AB=DB ABE=DBC BE=BC ABEDBC AE=CD MAB=FDM,A,B,C,D,E,F,M,N,已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.,已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.,证明:,(2)AFD的度数是多少?,AMB=DMF,AFDABD 60,A,B,C,D,E,F,M,N,已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.,已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.,(3)BM与BN有什么关系?为什么?连接MN,BMN是什么三角形?, AB

8、DEBC 60 DBE180-ABDEBC60 ABDDBE 在ABM和DBN中 MAB=FDM AB=AB ABD=DBE ABMDBN BM=BN DBE= 60 BMN是等边三角形,证明:,A,B,C,D,E,F,M,N,已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.,已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.,(4)MN与BC平行吗?为什么? (5)若ABD绕B点旋转,在旋转过程中AE与CD相等吗?画出图形证明.,证明:, MNB 60 又EBC 60 MNBEBC MNBC,8.已知：如图，P、Q是ABC的边BC上的两点，并且PB=PQ=QC=AP=AQ 求BAC的大小,A,B,P,Q,C,1.你能把一个等边三角形分成三个、四个、六个全等的三角形吗？若能，画出所要求的图形来，不能，则用“”在括号内表示。,（ ）,（ ）,（ ）,小小探索家:,2.新理念中考题 (2004浙江)正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用三种不同的分割方法，将图中三个正三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）。,小小设计家:,教师寄语,愿你用勤奋的汗水 浇灌智慧的花朵,

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