第二十四节二次函数图象与性质-(一)

1、二次函数图象与性质 (一) 【知识要点】 1你能用描点法作出二次函数图像吗？你能总结出有什么性质吗？ 2 axy 2 axy 2通过作图，我们能得到和有哪些图像性质吗？ 2 axy caxy 22 )(hxay 3你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗? 4你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数的数学模型？caxy 2 【典型例题】 例 1 、在同一坐标轴中作出二次函数 y=x 和 y=-x 的图象，并在下表总填出它的性质。 22 抛物线 y=x2y=-x2 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 例 2 试在同一坐标系内画出与以及的图像，并依据图像回答问题： 2 2xy32 2 xy32 2 xy 抛物线与和有什么关系？ 2 2xy32 2 xy32 2 xy 小结：y=ax +c 的图象与 y=ax 的图象形状 22 其对称轴为 轴 顶点坐标为（ , ） 当 a0 时，开口 ，y=ax +c 图象有最 点；当 x=0 时，y 有最 值为 ；当 a0 时，是由 y=ax 向 平移 c 个单位，当 c0 时，开口向上，图象有最_点，当 x=h 时，y 有最 值为 0；

2、当 a0 时，由 y=ax 的图象向右平移 h 个单位；当 h0 时，由 y=ax 向左平移|h|个单位，简称“ 22 ” 例 4 函数与 y=（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）3 2 kxy x k 例 5 如果二次函数的值恒大于 0，那么必有（ ）maxy 2 A、a0，m 取任意实数 B、a0，m0 C、a0，m0 D、a，m 均可取任意实数 例 6 若二次函数，当取时，函数值等，则当取时，函数值为（ caxy 2 x)(, 2121 xxxxx 21 xx ） A、B、C、D、ca ca cc 2010 秋季 M09TA24 3 例 7 已知抛物线上有两点 A、B，其横坐标分别为1，2，请探求关于 a 的取值情况，)0( 2 aaxy ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流. 例 8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为 8 米，两侧距地面 4 米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，则校门的高度为 。（精确 到 0.1 米） 例 9（2009 年滨州） 如图，某产品

3、标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯 形中，对于抛物线部分，其顶点为ABCDABDC20cm30cm45ABDCADC， 的中点，且过两点，开口终端的连线平行且等于CDOAB、MNDC （1）如图所示，在以点为原点，直线为轴的坐标系内，点的坐标为，OOCxC(15 0)， 试求两点的坐标；AB、 （2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）； 【经典练习】 1、（2009 年广西钦州）将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是（ ） Ay2x23By2x23 Cy2（x3）2 Dy2（x3）2 2、（2009 年嘉兴市）年嘉兴市）已知0a，在同一直角坐标系中，函数axy 与 2 axy 的图象有可能是（ ） 6 米 4米 8 米 B AO 第 3 题图 N B C D A M y x （图） ） O O y x 1 1 A x y O 11 B x y O11 C x y O 11 D 3、（2009 年甘肃庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形 状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图（2）

4、建立平面直角坐标系，则抛物线 的关系式是（ ） A 2 2yx B 2 2yx C 2 1 2 yx D 2 1 2 yx 4函数 y=x2的顶点坐标为 若点（a，4）在其图象上，则 a 的值是 5若点 A（3，m）是抛物线 y=x2上一点，则 m= 6函数 y=x2与 y=x2的图象关于 对称，也可以认为 y=x2，是函数 y=x2的图象绕 旋 转得到 7抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 x 时，32 2 xy y 随 x 的增大而增大， 当 x 时， y 随 x 的增大而减小. 8将抛物线向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向上平移 3 个单位得到 2 3 1 xy 的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。 9任给一些不同的实数 k，得到不同的抛物线，当 k 取 0，时，关于这些抛物线有以下判kxy 2 1 断：开口方向都相同；对称轴都相同；形状相同；都有最低点。其中判断正确的是 。 10抛物线向上平移 4 个单位后，所得的抛物线是 ，当 x 时，该抛物线12 2 xy 有最 （填大或小）值，是 。 11（2009 年兰州）二次函数的图象

5、如图所示，点位于坐标原点， 2 2 3 yx 0 A 点， 在 y 轴的正半轴上，点， 1 A 2 A 3 A 2008 A 1 B 2 B 3 B 在二次函数位于第一象限的图象上，若,， 2008 B 2 2 3 yx 011 A B A 122 AB A ，都为等边三角形，则的边长 . 233 A B A 200720082008 ABA 200720082008 ABA 12已知函数：， 和。 2 2 1 xy3 2 1 2 xy1 2 1 2 xy （1）在同一坐标轴中画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；6 2 1 2 xy 图（1） 图（2） 2010 秋季 M09TA24 5 （4）试说明函数、的图象分别有抛物线作怎3 2 1 2 xy1 2 1 2 xy6 2 1 2 xy 2 2 1 xy 样的平移才能得到 抛物线开口方向对称轴顶点坐标 2 2 1 xy 3 2 1 2 xy 1 2 1 2 xy 6 2 1 2 xy 13、（2009 年衢州）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n

6、)在抛物线 2 yax上 (1) 求 a 的值 (1)求点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标； 【作业作业】日期日期 姓名姓名 完成时间完成时间 成绩成绩 1若二次函数 y=ax2（a0），图象过点 P（2，8），则函数表达式为 2函数 y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点 3点 A（ 2 1 ，b）是抛物线 y=x2上的一点，则 b= ；点 A 关于 y 轴的对称点 B 是 ，它 在函数 上；点 A 关于原点的对称点 C 是 ，它在函数 上 4x2 2 A 8 -2O -2 -4 y 6 B -4 4 4抛物线 y=4x24 的开口向 ，当 x= 时，y 有最 值，y= 5当 m= 时，y=（m1）x mm 2 3m 是关于 x 的二次函数 6抛物线 y=3x2上两点 A（x，27），B（2，y），则 x= ，y= 7当 m= 时，抛物线 y=（m1）x mm 2 9 开口向下，对称轴是 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 8.试写出抛物线经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 2 3xy （1）右移 2 个单位；（2）左移个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。 3 2 9.二次函数的图象如图：已知，OAOC，试求该抛物线的解析式。 2 hxay 2 1 a 10.已知函数。41 2 xy （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与 x 轴的交点为 A、B 和与 y 轴的交点 C，求ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移 2 个单位，在向上平移 4 个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点。 （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当 x 取何值时，函数值大于 0；当 x 取何值时，函数值小于 0。

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