(通用版)2020版高考数学大一轮复习 第23讲 正弦定理和余弦定理学案 理 新人教a版
10页1、第23讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA=2R(其中R是ABC的外接圆的半径)a2=,b2=,c2=定理的变形a=2Rsin A,b=,c=,abc= cos A=,cos B=,cos C=2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin Aab解的个数3.三角形面积公式(1)S=12ah(h表示边a上的高);(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在ABC中,A+B+C=;变形:A+B2=2-C2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin A+B2=cos C2;(4)cos A+B2=sin C2.3.三角形中的射影定理在ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一常识题1.教材改编 在ABC中,B=45,C=60,c=2,则最
2、短边的边长等于.2.教材改编 在ABC中,已知a=5,b=23,C=30,则c=.3.教材改编 在ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.4.教材改编 在ABC中,已知a=32,b=23,cos C=13,则ABC的面积为.题组二常错题索引:在ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.5.在ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin Asin B,则A,B的关系为.6.在ABC中,若A=60,a=43,b=42,则B等于.7.在ABC中,a=2,b=3,C=60,则c=,ABC的面积等于.8.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccos A=b,则ABC为三角形.探究点一利用正弦、余弦定理解三角形例1 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,且b2+c2=3+bc.(1)求角A的大小;(2)求bsin C的最大值.总结反思 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,
3、即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.变式题 (1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cb,则C=()A.6B.4C.4或34D.3(2)2018衡水中学月考 已知ABC满足BCAC=22,若C=34,sinAsinB=12cos(A+B),则AB=.探究点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2 已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin Bsin C=sin2A,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形总结反思 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形
4、的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.变式题 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若tanAtanB=a2b2,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形探究点三与三角形面积有关的问题例3 2018洛阳三模 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsin B+(c-b)sin C=asin A.(1)求角A的大小;(2)若sin Bsin C=38,且ABC的面积为23,求a. 总结反思 (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也可结合基本不等式求解.变式题 2018黄冈中学月考 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.(1)求ABC的面积;(2)若cos Bcos C=14,求ABC的周长.第23讲正弦定理和余弦定理考试说明 1.通过对任意三
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