确定高精度参数问题
14页1、确定高精度参数问题摘要本文依据题目要求,在万有引力和牛顿第二定律的基础上,首先建立了航天器运动模型;再次利用食饵捕食者系统模型,在非线性最小二乘法的基础上对未知高精度参数进行估计;最后,本文针对题目所给出的现有模型进行合理化的改进,以满足题目要求。对于问题一,本文利用物理上常用的知识,建立平面上的常微分方程组模型,以对航天器的运动进行模拟。对于问题二,本文以最小二乘拟合为主,通过建立不同的模型对题目的要求分别求解。l 在第一问中,本文先将食饵捕食者系统模型转化为隐式方程的结构,再基于此方程,利用已知无误差数据和已知参数值,通过最小二乘拟合求出各未知参数,结果详见正文。l 在第二问中,本文从理论上分析出,只要求得方程组的解析解,则再有4组无误的观测值就可以拟合出4个未知参数,同时考虑方程初值的确定问题,因此至少需要5组观测数据,就可以确定6个未知参数。l 在第三问中,由于观测值存在误差,因此方程的初值也需要拟合,本文基于上问中的最小二乘法进行求解,发现结果误差较大,为减小误差,本文对模型进行修改,本文运用4级4阶龙格库塔法对模型加以修改。l 在第四问中,观测的时间也发生了偏差,为了消除时
2、间上的偏差,本文使用了分段线性插值消除时间误差,再利用第三问的方法对参数进行预测。1、 问题重述一:考虑航天器在仅受到地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用下作平面运动,将地球和航天器视为质点,试建立航天器运动的数学模型(只要列出模型,不要求解)。假设有一个生态系统,其中含有两种生物,即: A生物和B生物,其中A生物是捕食者,B生物是被捕食者。假设时刻捕食者A的数目为,被捕食者B数目为,它们之间满足以下变化规律:初始条件为:其中为模型的待定参数。通过对此生态系统的观测,可以得到相关的观测数据。观测数据的格式依次为:观测时刻、A生物数目、B生物数目二:请利用有关数据,解决以下问题:1) 在观测数据无误差的情况下,若已知,求其它5个参数?有关数据见数据文件:DATA1.TXT2) 在观测数据无误差的情况下,若也未知,问至少需要多少组观测数据,才能确定参数?有关数据见数据文件:DATA1.TXT3) 在观测资料有误差(时间变量不含有误差)的情况下,请分别利用观测数据DATA2.TXT和DATA3.TXT,确定参数在某种意义下的最优解,并与仿真结果比较,进而改进你们的数学模型。4) 假设连
3、观测资料的时间变量也含有误差,试利用数据DATA4.TXT,建立数学模型,确定参数在某种意义下的最优解。2、 符号说明3、 模型假设(1)假设地球和航天器为质点,且运动过程中只受地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用。(2)假设是一个包括捕食与被捕食两个种群的生态系统,捕食者靠被捕食者而生存,系统与外界没有种群交换关系。(3)假设种群自身的增殖变化速率与 t 时刻种群的数量成比率。4、 问题分析4.1 航天器运动分析由于航天飞机只在平面内飞行,本文认为飞机在飞行中,飞行速度和加速度为时间的函数。在某一确定的点,在考虑惯性力因素下,飞机受力平衡,因此可以建立在飞船飞行方向上和指向地球方向上的平衡方程,该平衡方程即为建立航天器运动的数学模型。4.2 生物种群模型分析l 数据无误时模型分析本文根据题目所给出的捕食者的数捕食者A的数目为,被捕食者B数目为,它们之间满足以下变化规律:进行数学变形,把模型转化为隐式方程的结构,根据初始条件与附件可以很容易的得到与的值。利用已知无误差数据和已知参数值,通过最小二乘拟合求出参数.的值。l 未知时模型分析本题与问题一唯一的区别就是的值未知,同样的可以
4、根据初始值知道与的值,由于的值是未知的,为此,我们可以先通过一组数据,得到参数的解析解,然后再用组数据就可以其他未知参数的值。在确定参数的实际值时,本文利用参数之比为周期之比,用观测法得出所求参数的周期,同时利用公式,求出拟合后的周期,利用周期比为各参数之比,得到未知参数。l 数据有误时间无误时模型分析首先,由于初始值也存在误差,本文将作为未知参数带入所求出的隐式方程,从而用非线性最小二乘拟合对相对参数进行拟合。再次,通过周期之比得到最终的未知参数。最后,本文建立了4级4阶龙格库塔公式对模型进行改进,以应对由于数据误差较大时产生的数据偏差。l 数据有误时间也有误时模型分析对于时间上的偏差,本文先利用分段样条插值消除由于时间上的偏差所造成的影响,再次利用第三问的方法对未知参数进行求解。5、 模型建立与求解5.1 航天器运动的数学模型 在考虑飞机模型时,为方便模型的建立,本文首先以地球为中心建立平面直角坐标系(如下图),将运动物理问题抽象为平面运动问题,同时假设飞船围绕地球做圆周运动,再由牛顿第二定律与万有引力定律可以求解。R地球航天宇宙飞船(图一)在飞船飞行方向上的飞船只受飞船自身推动力
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