文科高等数学第十讲2课件

1、文科高等数学,,第十讲(2) -概率统计初步(2),数学教研室：刘淑环,概率统计初步(2),一、概率概述 二、有趣的概率问题 三、随机事件关系及运算规律 四、随机事件概率模型,偶然中蕴含必然的问题,(五)随机事件乘法公式 (六)二项概型 (七)全概公式和贝叶斯公式,四、随机事件概率模型,例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,1,2,3,(七)全概公式和贝叶斯公式,解：记Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,且A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,即 B= A1B+A2B+A3B，,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每一项 运用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P

2、(Ai)0， i =1,2,n, 另有一事件B, 它总是与A1, A2, ,An之一同时发生，则,全概率公式,称满足上述条件的A1,A2,An为完备事件组.,在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.,全概率公式的来由, 由上式不难看出:,“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.,它的理论和实用意义在于:,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .,诸Ai是原因 B是结果,由原因推结果,该球取自哪号箱的可能性最大?,“已知结果求原因”问题,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2

3、,3; B =取得红球,所求为P(A1|B),运用全概率公式 计算P(B),将得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,贝叶斯公式,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例2 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性现设某人检查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？,医学检查问题,解,且已知,由贝叶斯公式可得,记,2. 检出阳性是否一定患有疾病?,这种检查对于诊断一个人是否患有疾病有无意义？,3. 检出阳性后进行复查，仍然为阳性， 问患有疾病的概率有多大?,(1)如果不做检查,随机抽查一人,他患疾病的概率为0.5%。,(2)如果进行检查，根据阳性反应的检查结果，此人患

4、疾病的概率为32.3%。,结论：从0. 5%增加到32.3%,将近增加约60倍.,这种检查对于诊断一个人是否患有疾病有无意义？,这种检查对于诊断一个人是否患有疾病有很大意义。,试验结果为阳性,此人确患疾病的概率为 P(CA)=32.3%,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你患有疾病，这种可能性只有32.3% ，此时医生常要通过再复查来确认.,2. 检出阳性是否一定患有疾病?,3. 检出阳性后进行复查，仍然为阳性，问患有疾病的概率有多大?,下面再回过头来看一下贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的验前概率和验后概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.,全概率公式,贝叶斯公式,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影响 .,概率公式综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)=

5、 P(A)P(B|A) P(A)0,例3 根据遗传学的规律，在各种不同父母血型 的配合下，所生子女为O型的概率如表所示。 今有一人，其血型为O型，其母亲血型为B 型，其父亲已去世，不知其父亲血型，要求计 算出其父亲的血型为A、B、O、AB的概率。 已知此人出生地区群体的四种血型比例A 为 28%、B为28%、O为36%、AB为8%。,不同父母血型下所生子女为O型的概率表,O型子女的概率表,B A,IB IB IB i,4IBIA,2IBIA 2IBi,IA IA IAi,2IBIA 2IAi,IBIA IB i IA i ii,6AB 2B,2AB 2A,AB A B O,基本事件共有16个，其中O型占1/16=0.0625,最可能 的血型为 AB型占 9/16= 0.5625,表中数据解释,求解分析,解:设B=子女血型为O型,A1=父亲血型为O型; A2=父亲血型为A型; A3=父亲血型为B型; A4=父亲血型为AB型;,则P(A1)=0.36，P(A2)=0.28， P(A3)=0.28，P(A4)=0.08,由表可知 P(B/A1)=0.25 (父母血型为B/O),P(B/A2)

6、=0.0625 (父母血型为B/A),P(B/A3)=0.0625 (父母血型为B/B),P(B/A4)=0. (父母血型为B/AB),P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)=0.1250,解:设B=子女血型为O型,A1=父亲血型为O型; A2=父亲血型为A型; A3=父亲血型为B型; A4=父亲血型为AB型;,由逆概率公式,所以,其父亲最可能的血型为O型,绝不可能是AB型,P(B)=0.1250,求解分析,例4 假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨。若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p，变的概率为1-p。设第一天无雨，试求第n天也无雨的概率,解：,根据全概公式：,递推公式：,求解分析,1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求： （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率 a ； （2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 b,练习,解,记,解,（1）由全概率公式,（2）由贝叶斯公式,,数学教研室：刘淑环,Thanks!,

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