反证法与放缩法ppt课件
18页1、1不等式的证明方法反证法 (1)反证法证明的定义:先假设要证明的命题不成立,然后由 出发,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行 ,得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明 不成立,从而证明原命题成立 (2)反证法证明不等式的一般步骤:假设命题不成立;依据假设推理论证;推出矛盾以说明 ,从而断定原命题成立,此假设,正确的推理,假设,假设不成立,2不等式的证明方法放缩法 放缩法证明的定义: 证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值 或 ,简化不等式,从而达到证明的目的 3放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性; (2)等量加不等量为 ; (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较,放大,缩小,不等量,(1)反证法适用范围:凡涉及不等式为否定性命题,唯一性、存在性命题可考虑反证法如证明中含“至多”,“至少”,“不能”等词语的不等式 (2)注意事项:在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉情况,反证法体现了“正难则反”的策略,在解题时要灵活应用,1实数a,b,c不全为0的等价条件为 ( ) Aa,b,c均不为0 Ba,b
2、,c中至多有一个为0 Ca,b,c中至少有一个为0 Da,b,c中至少有一个不为0 解析:“不全为0”是对“全为0”的否定,与其等价的是 “至少有一个不为0” 答案:D,2证明:三个互不相等的正数a、b、c成等差数列,则a, b,c不可能成等比数列 证明:假设a,b,c成等比数列,则b2ac. 又a、b、c成等差数列 abd,cbd(其中d公差) acb2(bd)(bd)b2b2d2. d20,d0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾 假设不成立a、b、c不可能成等比数列,3已知函数yf(x)在R上是增函数,且f(a)f(b)b. 当ab时,ab则有f(a)f(b),f(a)f(b),于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾 当ab时,af(b),f(b)f(a) 于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾故假设不成立 ab.,(1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式),审慎地采取措施,进行恰当地放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败 (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法,利用放缩法证明不等式,就是采取舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的,5设f(x)x2x13,a,b0,1,求证: |f(a)f(b)|ab|. 证明:|f(a)f(b)|a2ab2b| |(ab)(ab1)|ab|ab1| 0a1,0b1 0ab2, 1ab11,|ab1|1. |f(a)f(b)|ab|.,
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