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微积分及其应用上册教学课件 ppt 作者李秀珍第2章 2-6

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常见问题

1、第二章导数与微分,第一节导数的概念,第二节函数的求导法则,第三节高阶导数,第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,第五节函数的微分,第六节边际与弹性,第六节边际与弹性,一、边际函数,二、函数的弹性,一、边际函数,1.边际函数的概念,根据微分的定义,在经济学中,自变量的变化常常是以“单位”而言的，当自,（2.17）式的经济意义是,当自变量产生一个单位的改变时,函数,省略去“近似”二字.,本函数为,平均成本函数的导数,称为边际平均成本函数.,2.边际成本,总成本函数C(Q)的导数C(Q)称为边际成本函数.,见经济函数中,我们知道每单位产品所承担的成本费用,即平均成,在第一章常,例1,已知某商品的成本函数为,(1) 生产700个单位产品时的总成本和平均成本;,(2) 生产700到1400个单位产品时总成本的平均变化率;,(3) 生产700个单位产品时的边际成本,并解释其经济意义.,解,(1)生产700个单位产品时的总成本,平均成本,(2) 生产700到1400个单位产品时总成本的平均变化率为,(3) 生产700个单位产品时的边际成本为,它表示当产量为700个单位时，再增产

2、（或减产）一个单位，,需增加（或减少）成本0.2857个单位.,3.边际收益与边际利润,对其他经济函数，“边际”的概念也有类似的意义，即经,济函数的因变量对自变量的导数，统称为“边际”. 例如,收益,称为边际收益函数.,边际收益的经济意义:已经销售Q单位产品,再销售一个单,位产品所增加总收益.,假设产品的销售量为Q时,给产品所定的价格为P(Q)，因此,则边际收益函数为,同样利润函数L(Q)的导数,称为边际利润函数.,边际利润表明:如果已经生产了Q个单位产品，再生产1个,单位产品所增加的总利润.由于总利润等于总收益减去总成本,即,所以边际利润为,即边际利润等于边际收益减去边际成本.,例2,设某产品的总成本函数为,需求量(产量)Q与价格P的关系为,求边际成本、边际收,益和边际利润.,解,边际成本,收益函数,边际收益,利润函数,边际利润,1.函数弹性的概念,二、函数的弹性,变量与相对变化率.先来考察一个例子.,下面我们介绍经济学中另一个常见问题,经济变量的相对改,设P表示一件衬衣的价格,例3,某种衬衫以每件100元的价格销售,每天销售量为100件,每天的销售量增加到120件,讨论衬衣的,价格

3、降低到每件90元后,销售价格变化对销售量的影响.,解,Q表示销售量,则价格的绝对改,改变量,销售量Q的绝对改变量,衬衣价格减少了10%,销售,量相应地增加了20%.,对改变量.而销售量的相对改变量与价格的相对改变量的比,表示衬衣价格每上升1%,相应的销售量就降低2%.我们把(1)式称,两点间的弹性或平均,相对变化率.这类问题在经济活动中经常遇到,为此引入下面的定,义.,定义,与自变量的相对改变量,间的弹性(或平均相对变化率).而极限,如果存在，称其为函数在点x=x0处的弹性(或相对变化率),记为,或,即,是x的函数，称为y=f(x)的弹性函数(简称弹性).,烈程度或灵敏度.数值上,1%的改变时,函数f(x)近似地改变,释弹性的具体意义时,可以略去“近似”二字.,在应用问题中解,2.需求弹性,需求弹性,通常是指需求函数的价格弹性.设需求函数Q=f(P),其中P表示产品的价格,由弹性函数的定义,需求弹性为,或,例4,设某商品的需求函数为,求,（1）需求弹性函数;,(1)由已知,解,需求弹性为,说明需求变动的幅度与价格变动的幅度相同.,说明价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变,动的幅度大于

4、价格变动的幅度.,一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价格的提高而减,少,因此需求弹性一般是负值,它刻画了需求量对价格变化的反应,下面用需求弹性分析总收益的变化.,程度.,总收益R是商品价格P与销售量Q=f(P)的乘积，即,由(2)式可知:,则需求变动的幅度小于价格变动的幅度.边际收,益大于零,总收益函数单调增加.即:价格上涨,总收益增加;价格下,跌,总收益减小.,小于零,总收益函数单调减少.即:价格上涨,总收益减少;价格下跌,总收益增加.,则需求变动的幅度等于价格变动的幅度.边际收,益等于零,总收益函数取得最大值.,综上所述,总收益的变化受需求,而变,其关系如图所示.,则需求变动的幅度大于价格变动的幅度.边际收益,弹性的制约,随商品需求弹性的变化,设某商品的需求函数为,例5,(1) 求需求弹性函数;,(2) 求P=4时的需求弹性;,(3) 当P=4时,若价格P上涨1%，总收益将变化百分之几?是,(4) 当P=6时,若价格P上涨1%，总收益将变化百分之几?是,增加还是减少?,增加还是减少?,解,(1) 求需求弹性函数为,(2) 当P=4时的需求弹性为,当P=4时,价格P上涨1%，需求减少0.54%.,(3)总收益函数,由(2.19)式,得,要求价格P上涨1%,总收益将变化的百分比,需要先求总收益,的弹性,由弹性函数的定义知,总收益的弹性,所以当P=4时,若价格P上涨1%，则总收益将增加0.46%.,(4) 当P=6时,总收益和边际收益分别为,总收益的弹性为,所以当P=4时,若价格P上涨1%，则总收益将减少0.85%.,22,内容小结,1. 边际函数,边际函数的概念及意义,边际成本,2. 函数的弹性,边际收益,边际利润,函数弹性的概念及意义,需求弹性,收益弹性,

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