数学第二册 教学课件 ppt 作者 吕保献 第十章　二 次 曲 线

1、第十章 二 次 曲 线,在生产实践和科学研究中,除了应用已经学过的 直线知识外,还常常用到圆、椭圆、双曲线和抛物线等曲线。例如,油罐车上油罐的封头和人造地球卫星的轨道等都是椭圆形的;发电厂里冷却塔的剖面是双曲线形的;物体平抛时的运行轨迹是抛物线等。,第一节 曲线与方程,一、曲线与方程的关系,在第九章里研究过直线的各种方程,讨论了直线和二元一次,方程的关系,下面进一步研究一般曲线和方程的关系。,平面直角坐标系中第一、三象限角平分线的方程是x-y=0,即如果点M(x0,y0)是这条直线上任意一点,它到两坐标轴的距离 一定相等,即x0=y0,那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解;反过来,如果(x0,y0)是方程x-y=0的解,即x0=y0,那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等,它一定在这条平分线上,如图10-1所示。,又如,函数y=ax2(a0)的图像是关于y轴对称的抛物线,如图10-2所示,这条抛物线是所有以方程y=ax2(a0)的解为坐标的点组成的,即如果M(x0,y0)是抛物线上的点,那么(x0,y0)一定是这个方程的解;反过来,如果(x0,y0)是方程y=ax2(a0

2、)的解,那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。这样,就说y=ax2(a0)是这条抛物线的方程。,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条 件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 的 实数解建立了如下关系:,1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解;,2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。,那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。,由曲线的方程的定义可知,如果曲线C的方程是 ,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是 。,由于曲线与方程之间具有这样的对应关系,因此可以用代数 的方法来研究几何问题。,例1 判定点A(-3,4)和B(3,5)是否在曲线x2+y2=25上。,解 把点A的坐标代入所给方程,得(-3)2+42=25,这就是说,点A 的坐标满足所给方程,所以点A(-3,4)在曲线x2+y2=25上。,把点B的坐标代入所给方程,得32+5225,这就是说,点B的坐,标不满足所给方程,所以点B(3,5)不在曲线x2+y2=25上。,二、求曲线的方程,下面讨论根据条件求曲线的方程。,例2 设A、B两点的坐标是A(-1,-1),B(3,7),求线段AB

3、的垂直 平分线的方程。,解 设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点(如图10-3), 按题意得 MA = MB 。,根据两点间的距离公式,得,图 10-3,化简,得x+2y-7=0,证明方程x+2y-7=0是线段AB的垂直平分线的方程:,首先,由求方程的过程可知,垂直平分线上每一点的坐标都是 方程x+2y-7=0的解;其次,设点M1的坐标(x1,y1)是方程x+2y-7=0 的解,即,点M1到A、B的距离分别是,所以 M1A = M1B,即点M1在线段AB的垂直平分线上。,由以上证明可知,方程x+2y-7=0是线段AB的垂直平分线的方 程。,图 10-4,例3 两个定点A、B之间距离为2r,动点M与A、B两点的连,线互相垂直,求动点M的轨迹方程。,解 取A、B所在直线为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角 坐标系(如图10-4),则A点坐标为(-r,0),B点坐标为(r,0)。,设动点M的坐标为(x,y),由题意知MAMB,即AMB是直角 三角形。,由勾股定理,得,MA 2+ MB 2= AB 2,由两点间的距离公式,得,化简得x2+y2=r2 (xr),这就是动点M 的轨迹方

4、程。,练一练:上例中,取A、B所在直线为x轴,A为原点,建立直角坐 标系,求动点M的轨迹方程,并与已求得的方程比较,会得到什 么结论?,第二节 圆,一、圆的标准方程,我们知道,平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是 圆,定点就是圆心,定长就是半径。,图 10-5,根据圆的定义,求圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程,如图10-5 所示,设M(x,y) 是圆上任意一点,由已知条件,得,由两点间的距离公式,得,两边平方,得,式(10-1)就是圆心在点C(a,b),半径为r的圆的方程,把它 叫做圆的标准方程。,特别地,当a=b=0时,式(10-1)成为,这就是以原点为圆心,r为半径的圆的方程。,把式(10-1)展开,得,设-2a=D,-2b=E, a2+b2-r2=F,代入上式,得,这个方程叫做圆的一般方程。,圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径,而一般 方程突出了方程形式上的特点:,(1)x2与y2的系数相等,且不等于0,(2)不含xy项(即xy项的系数等于0),将式(10-3)配方,得,1) 当D2+E2-4F 0时,式(10-3)表示以 为圆心,以 为半径的圆;,2)

5、当D2+E2-4F=0时,式(10-3)表示一个点 ,有时也 称它为点圆;,3) 当D2+E2-4F0时,式(10-3)不表示任何曲线,有时也称它为虚 圆。,例1 求以A(-2,3)为圆心,并过点B(1,1)的圆的方程。,解 所求圆的半径r= AB = = ,圆 心为A(-2,3),所以圆的标准方程为,化为一般方程为x2+y2+4x-6y=0,例2 判定方程2x2+2y2+2x-2y-5=0所表示的曲线的形状。,解 方程两边同除以2,得,与式(10-3)比较,可知,因此,原方程表示一个圆,圆心为 ,半径为 。,二、确定圆的方程的条件,要求圆的标准方程,需确定圆的圆心坐标(a,b)和半径r;而求圆 的一般方程,则需确定方程中的三个系数D、E、F,所以求圆 的方程就需确定三个常数,而确定三个常数必须且只需具备 三个条件,于是确定圆的方程需要三个条件。,例3 求以C(1,3)为圆心,并与直线3x-4y-7=0相切的圆的方程,解 已知圆心是C(1,3),又因为圆心到切线的距离等于半径, 所以根据点到直线的距离公式得,所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2= 。,例4 求过三点O(0,0)、A

6、(1,1)、B(4,2)的圆的方程,并求圆的 半径和圆心的坐标。,解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为点O、A、B在 圆上,把它们的坐标代入方程中得,解这个方程组得D=-8,E=6,F=0,于是得到所求圆的方程,所求圆的半径r= =5,圆心坐标为(4,-3) 。,三、圆方程的简单应用,圆的方程有着广泛的应用,例如桥梁的建造和模具的制造等, 都要用到圆的方程的知识 。,例5 如图10-6所示是某圆拱桥一孔的示意图,该圆拱跨度AB =20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一支柱支撑,求支柱,A2P2的长度(精确到0.01m)。,图 10-6,解 建立坐标系如图10-6所示,圆心在y轴上,设圆心的坐标是 (0,b),圆的半径为r,那么圆的方程为,因为点P、B在圆上,所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都满足 方程。,于是得方程组,解得b=-10.5, r2=14.52,所以这个圆的方程是,x2+(y+10.5)2=14.52,把点P2的横坐标x=-2代入上式, 得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52,(因为P2的纵坐标y0,所以方根取正值),于是,所求支柱

7、A2P2长度为3.86m。,第三节 椭 圆,一、椭圆的定义和标准方程,下面先介绍一种画椭圆的方法。,取一根适当长的细绳,在平板上将绳的两端分别固定在F1、F 2两个点上( F1F2 小于绳的长度)。如图10-8所示,用笔尖绷紧 细绳,在平板上慢慢移动一周,就可以画出一个椭圆。,图 10-8,从上面的画图过程可以看出,椭圆是与点F1、F2的距离的和 等于定长(即这条绳长)的点的集合。,把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两 焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,根据椭圆的定义,我们来求椭圆的方程。,如图10-9所示,取过点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平 分线为y轴,建立直角坐标系Oxy。,图 10-9,设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c0)。那么,焦 点F1、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设点M与F1和F2距离的和 为常数2a,根据椭圆的定义,得,由两点间距离公式,得,移项,两边平方,得,整理,得a =a2-cx,两边平方,得,整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a

8、2(a2-c2),由于2a2c,得a2-c20,令b2=a2-c2代入上式,得,两边同除以a2b2,得,图 10-10,这个方程叫做椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦点 在x轴上,焦点是F1(-c,0)和F2(c,0),这里c2=a2-b2。,如果使点F1、F2在y轴上,点F1、F2的坐标分别为F1(0,-c)、F2 (0,c),如图10-10所示,a、b的意义同上,所得方程变为,这个方程也是椭圆的标准方程,其中c2=a2-b2。,例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程:,(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),椭圆上一点到两焦点 距离的和等于10;,(2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)和(0,2),并且椭圆经过点 。,解 (1) 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,因为2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,因此,所以所求椭圆的标准方程为,(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,所以b2=a2-c2=10-4=6,因此,所求椭圆的标准方程为,二、椭圆的性质和图像,在解析几何里,是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的, 也就是说,

9、通过对曲线方程的讨论,得到曲线的形状、大小和 位置,下面我们利用椭圆的标准方程,来研究椭圆的几何性质。,1.对称性,在曲线的方程里,如果以-y代y方程不变,那么当点P(x,y)在曲,线上时,它关于x轴的对称点P(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于 x轴对称。同理,如果以-x代x方程不变,那么曲线关于y轴对称; 如果同时以-x代x,以-y代y方程不变,那么曲线关于原点对称。,2.范围,讨论方程中x、y的取值范围,可以得到曲线在坐标系中的范 围。,由方程 + =1可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式,即 x a , y b,这说明椭圆位于直线 x=a 和y=b 所围成的矩形里(如 图10-11)。,图 10-11,3.顶点,研究曲线上某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置。要确 定曲线在坐标系中的位置,常常需要求出曲线与x轴、y轴的 交点坐标。,在椭圆的标准方程里,令x=0,得y=b,这说明B1(0,-b)、B2(0,b) 是椭圆与y轴的两个交点。同理令y=0,得x=a,即A1(-a,0)、A2 (a,0)是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴、y轴是椭圆的对称 轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆 的顶点。,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等 于2a、2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,观察图10-11,由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦 点的距离相等,且等于长半轴长,即,在RtOB2F2中, OF2 2= B2F2 2- OB2 2, 即c2=a2-b2。,这就是我们令b2=a2-c2的几何意义。,4.离心率,椭圆的焦距与长轴的长的比,叫做椭圆的离心率,通常用e表 示,即e= 。,因为ac0,所以0e1,e越接近于1,则c越接近于a,从而b= 越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c越接近于0, 从而b越接近于a,这时,椭圆就接近于圆。,当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点与原点重合,图形变为圆。,例2 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦 点和顶点的坐标,并用描点法作出它的图像。,解 把已知方程化为标准方程,这里a=5,b=4,所以,c=

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