工程力学 教学课件 ppt 作者 钱双彬 第七章弯曲

1、,2,弯曲,第七章 弯曲,3,平面弯曲的概念和工程实例,7-1,第七章 弯曲,7-2,梁的计算简图,梁的剪力和弯矩,7-3,弯曲正应力,7-4,梁的剪力图和弯矩图,7-5,弯曲,弯曲切应力,7-6,梁的强度条件,7-7,弯曲变形,7-8,超静定梁,7-9,4,平面弯曲的概念和工程实例,7-1,弯曲,5,弯曲,一、工程实例,6,弯曲,二、基本概念,2.梁 以弯曲变形为主的杆件,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,（1） 受力特征,（2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.,1.弯曲变形,3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.,7,弯曲,A,B,梁变形后的轴线与外力在同一平面内,FRA,F1,F2,FRB,8,梁的计算简图,7-2,弯曲,9,弯曲,一、梁的简化,通常取梁的轴线来代替梁。,二、载荷类型,集中力、集中力偶、分布载荷,三、载荷类型,1.可动铰支座,10,弯曲,2.固定铰支座,3.固定端,11,弯曲,四.静定梁的基本形式,12,梁的剪力和弯矩,7-3,弯曲,13,弯曲,一、剪力和弯

2、矩的计算(截面法),课题例 已知 如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.,解: （1）求支座反力,14,弯曲,（2）求内力截面法,1.弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.,2. 剪力FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.,15,弯曲,1.剪力符号,使dx 微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.,二、内力的符号规定,使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.,16,弯曲,当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；,2.弯矩符号,当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.,17,弯曲,例题1 如图所示的简支梁，试求11及C左右截面上的内力。,解：1.求支座反力,得,2.求截面11上的内力,18,弯曲,同理,对于C左截面：,对于C右截面：,在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。,负号表示假设方向与实际方向相反。,1

3、9,弯曲,解:,例题2 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.,（1）求支座反力,（2）求1-1截面的内力,（3）求2-2截面的内力,20,弯曲,三、计算剪力和弯矩的规律,1.剪力,21,弯曲,不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩.,2.弯矩,左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,22,梁的剪力图和弯矩图,7-4,弯曲,23,弯曲,FS= FS(x),M= M(x),一、剪力方程和弯矩方程 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,1.剪力方程,2.弯矩方程,二、按剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,24,弯曲,例题3 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图.,解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程,25,弯曲,例题4 图示的简支梁,在全梁上受集度为q

4、的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,解： （1） 求支反力,（2）列剪力方程和弯矩方程.,26,弯曲,剪力图为一倾斜直线,绘出剪力图,27,弯曲,弯矩图为一条二次抛物线,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,28,弯曲,梁在跨中截面上的弯矩值为最大,但此截面上 FS= 0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,29,弯曲,解：求梁的支反力,例题5 图示的简支梁在 C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,将坐标原点取在梁的左端.,因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程,由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线.,30,弯曲,AC段,CB段,AC 段和 BC 段的弯矩方程不同,AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.,x = a ,x= l, M = 0,31,弯曲,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.,+,+,32,弯曲,三、按梁段上的分布载荷集度与梁段的剪力方程和弯矩方程之间的微分关系和积分关系绘制剪力图和弯矩图,设梁上作用有任意分布荷载其集度,1.弯矩、剪力与分

5、布荷载集度间的微分关系,q = q (x),，规定 q (x)向上为正.,将 x 轴的坐标原点取在梁的左端.,33,弯曲,假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx 微段.,x+dx 截面处 则分别为 FS(x)+dFS(x) ， M(x)+dM(x) . 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化.,m-m截面上内力为 FS(x) ,M(x),34,弯曲,写出微段梁的平衡方程,得,略去二阶无穷小量即得,35,弯曲,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;,（3）根据q(x)0或q(x) 0来判断弯矩图的凹凸性.,36,弯曲,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.,2.q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系,（1）梁上有向下的均布荷载,即 q(x) 0,37,弯曲,（2）梁上无荷载区段，q(x) = 0,剪力图为一条水平直线.,弯矩图为一斜直线.,当 FS(x) 0 时,向右上方倾斜.,当 FS(x) 0 时,向右下方倾斜.,38,弯

6、曲,（5） 最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上. 梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.,（3.）在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.,（4）在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.,39,弯曲,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,C,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,在FS=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯矩图 的特征,Mmax所在 截面的可 能位置,表 7-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,40,弯曲,3.分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系,若在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面无集中力则,41,弯曲,等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.,若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得,式中 M(x1)，M(x2

7、)分别为在x=x1 和 x= x2处两个横截面上的弯矩.,等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.,式中， 分别为在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面上的剪力.,42,弯曲,例题7 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN, 有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.,解：（1）求梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB 三段. 每一段均属无载荷区段.,（2）剪力图,每段梁的剪力图均为水平直线,AC段,43,弯曲,DB段,最大剪力发生在DB段中的任一横截面上,CD段,44,弯曲,最大弯矩发生在 C 截面,（3）弯矩图,每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.,45,弯曲,（4）对图形进行校核,在集中力作用的C,D 两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.,在AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.,在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.,最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.,46,弯曲,例题8 作梁的内力图.,解： （1）支座反力为,将梁分为AC、CD、

8、 DB、BE 四段.,（2）剪力图,AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线 ( ),47,弯曲,DB段 水平直线 (-),EB段 水平直线 (-),AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线 ( ),F点剪力为零,令其距 A截面的距离为x,x = 5m,48,弯曲,（3）弯矩图,CD段,AC段,BE段,49,弯曲,（4）校核,50,弯曲,例题9 已知简支梁的剪力图,作梁的弯矩图和荷载图.已知梁上没有集中力偶作用.,AB 段 没有荷载，在B处有集中力,51,弯曲,BC 段 无荷载,CD 段 有均布荷载 q ( ),52,弯曲,(2)弯矩图,AB段 向右上倾斜的直线,BC段 向右下倾斜的直线.,CD段 向上凸的二次抛物线.该段内弯矩没有极值.,53,弯曲,例题10 已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷载图.,AB段 因为 M(x) = 常量,剪力图为水平直线,且 FS(x) = 0 .,BC段 FS(x) = 常量 , 剪力图为水平直线,CD段 剪力图为水平直线,且FS(x) = 0,54,弯曲,AB段 无荷载,在A处有集中力偶,(2)作荷载图,F = 20kN (),B 处

9、有集中力.,集中力,BC段 无荷载 C处有集中力,集中力 F = 20kN ( ),CD段 无荷载,55,弯曲正应力,7-5,弯曲,56,弯曲,一、纯弯曲与横力弯曲,1.纯弯曲梁或梁上的某段内各横截面上只有弯矩而无剪力(如图中的CD段)。,2.横力弯曲梁或梁上的某段内各横截面上既有弯矩又有剪力(如图中的AC、BD段)。,57,弯曲,二、纯弯曲时正应力公式的推导,1.实验现象,(1)横线为直线, 仍与纵线正交 (2)靠顶部纵线缩短, 靠底部纵线伸长 (3)纵线伸长区,截面宽度减小 纵线缩短区, 截面宽度增大,2.弯曲假设,(1)横截面变形后保持平面，仍与纵线正交弯曲平面假设 (2)各纵向“纤维”处于单向受力状态单向受力假设,58,弯曲,(3) 既不伸长又不缩短纤维层，称为中性层。,(1) 横截面上无剪应力,(2) 横截面上存在正应力,3.推理,(1)中性层,中性层将梁分成两个区域：凹侧缩短受压，凸侧伸长受拉。,中性层的意义,弯曲变形过程中长度始终不变的纵线组成的层面。,4.中性层和中性轴,59,弯曲,(2)中性轴,中性层与横截面的交线,中性轴的意义,中性轴将横截面分成两个区域：受拉区和受压区，而中性轴上的正应力为零。弯曲变形可看作横截面绕自己的中性轴转动。,5.正应力公式的推导,(1)说明,y,z,梁的横截面,y,z 轴中性轴 y 轴纵对称轴,y 坐标相同的点所在纵线变形相同，因而应力相同，所以 = （y),60,弯曲,（2）公式的建立,几何方面:,物理方面:,静力学方面:,61,弯曲,(a)(b),中性轴通过横截面形心,(a)(c),(d)(a),抗弯截面系数,(d),惯性矩,注意：应力的计算中弯矩和点的位置全部带入绝对值，根据变形判定正应力的正负号,62,弯曲,(3)正应力公式的适用范围,1）公式虽然是在纯弯曲的情况下推导出来的，但是对于剪力弯曲的情

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