《信号处理与系统分析》（高政）电子教案 第12章随机信号处理初步

1、第十二章 随机信号处理初步,本章介绍随机信号处理的一些基本概念，并且借助Matlab，给出了一些谱估计的方法。 在许多信号处理的场合，信号是确定性的，例如电力系统里面的正弦波，而在更多的场合，系统并不知道要处理的信号的确定信息，比如我们在收听新闻广播的时候，并不知道播音员下一分钟将说些什么，因此用确定性函数来描述这样一个信息是不合适的。 如果信号的值是确定值，那么信号称为确定性信号； 如果信号的值是随机变量，那么信号称为随机信号。 随机信号的处理涉及很多的理论和方法，本章只对随机信号进行一些基本的分析和讨论。为了分析方便起见，只讨论离散时间随机信号。,12.1 随机过程,我们用随机过程(Random Process)来描述随机信号。,对于一个随机信号,，对于某一个固定的,是一个随机变量。,变化形成的随机变量的集合,就是一个随机过程。,一方面随机过程,既可以看成,另一方面随机过程,也可以看成所有实例,的集合，实例或者说样本,是一个确定性的信号。,随机变量的集合；,变化形成的,我们用各种概率函数来描述随机变量，以及随机变量之间的概率,的随机变量,概率分布函数(probability des

2、tribution function)来描述其,分布情况。,对于某一个确定,，我们用,概率分布的情况：,概率分布函数,固定值,自变量,概率密度函数,固定值,自变量,如果随机变量的取值被量化了，也就是说，的取值离散地分布在有限个数值等级上，例如：我们在计算机里面用一个字节（unsigned char）来存储一个数值，则在256个数值等级上取值。,概率质量函数,固定值,自变量,我们用联合概率分布函数来描述多个随机变量之间的相互依 从关系，,联合概率分布函数,固定值,自变量,联合概率密度函数,固定值,自变量,如果随机变量的取值被量化了，我们用联合概率质量函数，,联合概率质量函数,固定值,自变量,两个随机变量统计独立 :,如果一个随机过程的所有概率函数与时间原点的选择无关，则称之为严平稳随机过程或者狭义平稳随机过程，这种随机过程的概率函数有以下特征：,12.2 随机过程的统计特征,在很多情况下，单用概率函数来描述随机变量和随机过程并不合适。用随机变量和随机过程的一些统计特征来描述或者刻画它们，可能会更加合适。,随机变量的均值（mean）定义为：,随机变量的函数仍然是随机变量，其均值为：,两个随

3、机变量、的函数仍然是一个随机变量，它的均值定义为：,容易证明均值的下列性质：,如果两个随机变量和是统计独立的，容易证明：,统计独立只是上式的充分条件，不是必要条件，我们把满足上的两个随机变量和称为是线性独立(linearly independent)的。统计独立的随机变量一定线性独立，线性独立的随机变量不一定统计独立。,随机变量的均方值(Mean-Square Value )定义为：,随机变量的方差（variance）定义为 ：,容易证明：,方差的平方根,或者标准差（standard deviation）。,被称为均方差(mean square deviation),对于一个随机过程随机过程，它在不同时刻所对应的随机变量之间的统计特征主要用自相关序列和自协方差序列来表征。自相关序列(Autocorrelation Sequence)定义为：,自协方差序列(autocovariance sequence)定义为：,容易证明：,对于随机过程,和随机过程,它们的相互依赖关系可以用互相关序列和互协方差序列来表征。 互相关序列(Crosscorrelation Sequence)定义为：,互协方

4、差序列(crosscovariance sequence)定义为：,容易证明：,一般而言，随机过程的统计特征是随时间变化而变化的，但是 对于狭义平稳随机过程来说，由于其概率函数与时间起始点无 关，容易得出：,也就是说，均值和方差是与时间无关的常数。,狭义平稳随机过程的自相关序列有：,也就是说，自相关序列仅仅是时间差,是一个一维序列。,的函数，,在很多情况下，并不需要分析随机过程的概率函数，而只要了解它的统计特征就够了，因此我们引入广义平稳过程的概念。 如果一个随机过程满足(12.29)和(12.31)式，且均方值有界，则称为广义平稳随机过程(generalized stationary random process)或者宽平稳随机过程。因为有了“均方值有界”这么个条件，严平稳随机过程不一定是宽平稳随机过程。,一个随机信号可以看成是一个样本信号集,这个样本集中的每一个元素是一个确定性信号。在实际操 作过程中，我们并不能够得到所有的样本信号。大部分情 况下，只能够得到样本集中的一个确定性信号，而我们的 问题是利用这个确定性信号来计算随机信号的统计特征。,中的任意一个确定性信号,我们定义如下

5、：,对于样本信号集,如果对于所有的样本信号都有：,我们称该随机过程是各态遍历(ergodic)的。,有了这个各态遍历假设，我们就可以根据一个确定性的样 本信号来计算随机信号的统计特征。 在实际中，我们并不能进行(12.32)和(12.33)那样的无穷多 项的求和，我们只能够依据下列两个式子进行估计：,在各态遍历假设下，Matlab提供了一些函数，这些函数根 据一个确定性的样本信号来计算随机信号的统计特征。,12.3 统计特征的频域表示,我们先研究一下随机过程的统计特征的一些性质。,如果 和 是两个实的平稳随机过程，则有：,上面两式说明，如果均值为0，相关序列和协方差序列相等。,我们将自协方差序列,称为功率谱密度（Power Spectral Density简称PSD）：,的离散时间傅里叶变换，,我们将互协方差序列,称为互功率谱密度（Cross Spectral Density简称CSD）：,的离散时间傅里叶变换，,12.4 随机信号激励LTI系统,下面我们研究一个平稳随机信号 通过一个线性时不变系统的情况，显然系统的输出也是一个随机信号 。 对于随机信号的任意一个样本信号 ， 我们有：

6、,输出,单位冲激响应,下面我们来看看随机信号,在各时间点的,均值和自相关序列。,与时间无关,频率响应,一个广义平稳随机信号通过线性时不变系统，其输出仍然是广义 平稳随机信号。,也就是说，输出信号的自相关序列与时间无关。,线性时不变系统,广义平稳随机信号,广义平稳随机信号,被称为确定性信号,的自相关序列。,输入的自相关序列与单位冲激响应的自相关序列的卷积就等 于输出的自相关序列。,从频域来看。如果单位冲激响应为实的 。,两边取 傅里叶变换,下面我们看看输入信号与输出信号的互相关，,两边取傅里叶变换，,在很多情况下，我们得到的关于一个LTI系统的信息不足以让我 们了解该系统的全部特征。确定一个未知系统的特征的过程称 为系统辨识(System Identification)。 LTI系统的系统辨识方法之一就是，给系统加上特殊的激励信号 并观测其输出，以确定系统的特性。,白 噪 声,我们讨论另外一种系统辨识方法，即给系统加白噪声激励的办法。 白噪声(white noise或者flat noise)是一种特殊的平稳随机过程，以下性质构成其定义：,白噪声的功率谱密度:,用白噪声做为线性时不变系统的

7、输入，我们有：,12.5谱估计(Spectrum Estimation),在很多信号处理的实际应用中，我们都需要估计随机信号的功率谱密度。 这一小节，我们介绍几种谱估计的方法。,考虑有限长度的实序列，xn在区间0N-1以外的时间为0 。,可以证明：,Matlab提供了pwelch函数，用于估计PSD。其中，周期图的计 算是通过FFT进行的。pwelch函数的语法如下： pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs, range),下面我们通过一个Matlab来演示一个韦尔奇法估计PSD的例子， 在这里信号是一个加了噪声的200Hz的正弦信号，采样频率为 1000 Hz，使用33点的Hamming窗，32点的重叠，FFT的长度 为默认长度，显示谱的两边：,下面我们看一个系统辨识的例子，xn是一个40000点的白噪声，通过一个线性时不变系统，输出为yn，函数csd用于估计互功率谱密度 。,上面的系统辨识仍然不够精确，主要原因是理想的白噪声信 号不易获得。我们考察(12-72)式可得：,用上面的式子进行系统辨识，输入信号并不限于白噪声。 Matlab提供了基于这种方式的系统辨识的函数tfe，下面 就是一个例子：,

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