六年级奥数. 数论.质数、合数、约数、倍数 (abc级).学生版
15页1、质数合数、约数倍数知识框架一、 质数与合数一个大于1的自然数,如果除了1和它本身,再不能被其他自然数整除,那么它就叫做质数(也叫做素数)。一个大于1的自然数,如果除了1和它本身,还能被其他自然数整除,那么它就叫做合数。要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个;除了2其余的质数都是奇数;除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9.考点: 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9.这也是很多题解题思路,需要大家注意.二、 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数),使得q能够整除p,那么p就不是质数,所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这样的计算量很大,对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p的平方数,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去
2、除p,如没有能够除尽的那么p就为质数.例如:149很接近,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除,所以149是质数.常用质数整理:101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017三、 约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数;(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;(3)最大公约数:公约数中最大的一个就是最大公约数;(4)0被排除在约数与倍数之外1. 求最大公约数的方法l 分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来例如:,所以;l 短除法:先找出所有共有的约数,然后相乘例如:,所以;l 辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除
3、小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止那么,最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)例如,求600和1515的最大公约数:;所以1515和600的最大公约数是152. 最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;几个数都乘以一个自然数,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b;即为所求4. 约数、公约数最大公约数的关系(1)约数是对一个数说的;(2)公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数四、 倍数的概念与最小公倍数1. 倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数1) 公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数2) 最小公倍数:公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。2. 求最小公
4、倍数的方法分解质因数的方法;例如:,所以;短除法求最小公倍数;例如: ,所以;3. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数4. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数;求出各个分数分母的最大公约数;即为所求例如: 注意:两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如:5. 倍数、公倍数、最小公倍数的关系(1)倍数是对一个数说的;(2)最小公倍数是公倍数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数五、 最大公约数与最小公倍数的常用性质1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。如果为、的最大公约数,且,那么互质,所以、的最小公倍数为,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系:,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;最大公约数是、及最小公倍数的约数2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即,此性质比较简单,学生比较容易掌握。3. 对于任意3个连续的自然数,如果三
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