矩阵的逆及其应用
10页1、矩阵的逆及其应用姓名:刘欣班级:14级数计1班专业:数学与应用数学学号:1408020129一、 矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使得,则说矩阵是可逆的,并把矩阵称为的逆矩阵,的逆矩阵记作-。二、 逆矩阵的性质和定理1 逆矩阵的性质1、 若矩阵A、B均可逆,则矩阵AB可逆,其逆矩阵为B-1 A-1,当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。若,都是阶可逆矩阵,则也可逆,且()-()-()-()-.2、 若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A;3、 若A可逆,实数0,则A可逆,且(A)-1=1A-1;4、 若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T;5、 A-1=A-1;6、 矩阵的逆是唯一的;证明:运用反证法,如果A是可逆矩阵,假设B,C都是A的逆,则有=E=,()()(与矛盾),所以是唯一的。2 逆矩阵的定理、 初等变换不改变矩阵的可逆性。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是与阶单位阵等价。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是可以表成一些初等矩阵的乘积。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是。三、
2、逆矩阵的计算方法1 定义法定义:设是阶方阵,如果存在阶方阵使得,那么称为可逆矩阵,称为的逆矩阵,记为-。例、 求矩阵-的逆矩阵。解:-存在设-,由定义知-,-100010001由矩阵乘法得-100010001由矩阵相乘可解得-;-;-故A-1=1-4-31-5-3-1642 、伴随矩阵法阶矩阵()可逆的充要条件,而且当()阶矩阵有逆矩阵,-*,其中*为伴随矩阵。注释:对于阶数较低(一般不超过阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵,注意*()元素的位置及符号。特别对于阶方阵,其伴随矩阵*-,即伴随矩阵具有“主对角元素互换,次对角元素变号”的规律。对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵。例、 已知-,求-。解:可逆,由已知得-,-,-,-*-3 、行(列)初等变化法设阶矩阵,作矩阵,然后对此矩阵施以行初等变换,若把子块变为,则子块将变为-,即初等变换,-。注释:对于阶数较高()的矩阵,采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便,在用上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变换。也可以利用初等列变换-求得的逆矩阵。当矩阵可逆时,可以利用,初等行变换,-,初等列变换-求得-和-,这
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