计量经济学第4章一元回归模型的扩展

1、第4章 一元线性回归模型的扩展,学习目标 了解可以变换成一元线性回归模型的曲线模型 掌握对数模型斜率项系数的经济意义 理解常数项的意义 了解模型函数形式的选择原则,4.1 过原点的回归 过原点的回归模型的基本形式为： （4-1）,对于一组样本数据，变量为，则过原点模型的样本回归模型为： （4-5） 应用OLS可以得到 （4-6） （4-7） 式中的 ，一般情况下其值是未知的。我们可以用残差去估计： （4-8）,与有截距的模型一样，我们也可以计算过原点的模型的 ，但这个 与有截距的模型的 意义完全不同。一般可以定义过原点的模型的 为： （4-9） 虽然从这个公式也可以得出 ，但是 却不能与平常意义上的 相比。 在过原点的回归模型中，有两个异常的特点：1.过原点的模型估计式的残差和不一定为零，即 不一定成立；2.实际计算的 可能是负值。,正是过原点回归的特殊性，所以在实际运用中，除非有确定的理论支持，一般情况下我们都应该先采用有截距的模型。这是因为：第一，当采用有截距的模型时，如果其估计的截距项在统计意义上是显著的为零，这时我们就有理由认为实际的情况应该是一个过原点的模型；第二，如果真实的

2、模型是有截距的，而我们一定要设定为过原点的模型，这样就会犯下模型设定的错误。,【例4-1】搜集到基金兴华和上证基金指数2009年7月至2011年6月收益率的数据（数据见例4-1，数据来源：大智慧投资软件）。利用上述数据，分析基金兴华收益率和上证基金指数收益率的关系。 解：设定线性回归模型为 式中 -基金兴华的月收益率； -市场组合的月收益率； -Beta系数； -截距项。,用OLS估计的结果如下： Se =(0.007236) (0.101453) t=(1.199844) (9.847167) p=(0.2430) (0.0000) 对估计结果进行t检验，可以得到显著的对作出了解释，但由于截距项对应的p值为0.24300.05，故截距项显著的为零。,这样我们有理由将模型设定为 估计的结果如下： Se = (0.102160) t=(9.694482) p=(0.0000) 从估计的结果看，t检验是显著的。由估计的结果得，说明基金兴华的收益率波动基本与上证基金指数波动基本同步。,4.2对数模型 在计量经济学中，有很多问题表现出曲线形式，故需要建立曲线模型，而其中用得最多的是对数模型。

3、对数可以变换成三种不同的模型。 双对数模型为： （4-13） 线性到对数模型： （4-14） 对数到线性模型： （4-15）,1.双对数模型 双对数模型如式（4-13）所示，这个模型有一个特殊点，模型中的斜率项系数表示弹性。 正是由于在双对数模型中斜率项系数表示弹性，所以在很多时候双对数模型被广泛使用。 【例4-2】给出了我国2008年全国各地区城镇居民消费性支出和耐用消费品支出的数据（数据见例4-2，数据来源：中国统计年鉴2009），试测度耐用消费品支出对消费性支出的弹性。 解：由于双对数模型的斜率项系数是弹性的测度，所以我们设定双对数模型： 公式中 X-消费性支出； Y-耐用消费品支出。,OLS回归结果如下： 其中 ，对应的 ，说明我们设定的模型是可靠的。,由模型估计的结果知 ，表明当城镇居民家庭平均每人全年消费性支出增加1%时，则对应的耐用消费品支出会增加大约1.29%，说明耐用消费品支出对消费性支出有较高的弹性。耐用消费品生产厂商可以通过对居民消费水平的变化，通过其弹性来判断其生产的产品的市场的大致的状况。,2.线性到对数模型 线性到对数模型是一种半对数模型，其基本形式如式（4

4、-14）所示。 这种模型的一个经济学背景是关于复利的计算：设r是Y的复合增长率，T表示时间，M表示初始值，则有： ，两边取对数得： 。 令 ，可得到线性到对数模型。,【例4-3】给出我国1978年2008年GDP的数据（数据见例4-3，数据来源：中国统计年鉴2009），试测度我国GDP的增长率。 解：根据前段分析，要测试GDP的增长率，可以设定线性到对数模型： 式中 表示GDP， 表示时间序号。,用OLS得到如下结果： 由估计的结果可知，我们设定的模型是可靠的。,由于 ，故这是我国GDP瞬时增长率的点估计值。如果要求复合增长率，过程如下：利用关系式 得到 ，经计算 ，即复合增长率约为16%。由于以上结果所采用的数据是名义值而不是实际值，即没有考虑通货膨胀的因素，所以估计值较高。,3.对数到线性的模型 对数到线性的模型的一般形式如式（4-15）。与其他形式的对数模型一样，对数到线性模型的斜率项系数也有明确有经济学含义。 就测度了X变化1%时Y的绝对变化值， 即,【例4-4】给出了我国2008年各地区消费性支出和食品支出的数据（数据见例4-4，数据来源：中国统计年鉴2009），试测度消费性

5、支出每增长1%，食品支出的绝对值。 解：由上述分析，要测度消费性支出每增长1%时食品支出的绝对值，可设定对数到线性模型。 式中 Y食品支出； X消费性支出。,由回归结果，我们设定的模型是可靠的。 则 即当消费性支出增长1%时，平均食品支出增加的绝对值约为38.8元。,4.3倒数模型 在经济现象中，有很多现象表现出倒数的特性，比如商品流通费用率与销售额、单位成本与产量、商品的需求量与商品的价格等等，而著名的菲利普斯曲线也是一个倒数模型，它描述的是工资变化率与失业率的关系。 倒数模型的一般形式为： （4-16） 虽然倒数模型中变量之间是非线性的关系，但是Y与 之间是线性关系，所以从计量经济学意义上还是一个线性回归模型。,【例4-5】给出了美国环境保护署1991年公布的数据（数据见例4-5，数据来源：选自计量经济学基础古扎拉蒂/中文第四版P404页）。为了了解汽车每加仑行驶的里程数，共观测了81辆汽车的数据，显然每加仑行驶的里程数会受到汽车发动机的影响。根据表中的数据，建立两者之间的关系。（1加仑=3.785411784升）,解：首先我们要确定应该设定一个怎样的模型。其散点图如下：,从图中可

6、以看到，两个变量之间应该是倒数关系。所以我们设定为倒数模型： 式中 Y每加仑里程数； X发动机马力。,用OLS得：,4.4模型函数形式的选择 模型函数形式的选择是我们在设定模型时必须要考虑的问题。因为模型的函数形式不正确，则设定的模型是有偏误的，如果是这样的话，那么模型就不满足古典假定，在这种情况下用OLS得到的估计量不再是最佳线性无偏估计量了。,1.模型的经济理论背景。 2.模型要满足预先的预期。 3.在多种不同模型之间做比较，选择一个“最好”的模型。 4.对可决系数不做过高要求。 5.对斜率项系数所表示的意义作出正确的判断。,4.5案例分析 【例4-6】货币供应量作为货币政策的中介目标，在货币政策体系中占有重要地位。货币供应量水平是一国货币政策调节的主要对象，其变化情况则是一国制定货币政策的依据。货币供应量的大小是影响国民经济能否正常运行的重要因素，为了测试货币供应量对经济的影响，选取1990年2010年我国GDP和货币供应量（M2）的数据（数据见例4-6，数据来源：中国统计年鉴2011）建立双对数模型，来测定弹性。,解：双对数模型的估计结果为：,由估计的结果得：,P=(0.0000) (0.0000),对模型进行检验，系数的符号、可决系数的值、t检验都非常理想。,斜率项系数约等于0.79，其含义是弹性，即当货币供应量（M2）增加1%时，GDP会增加约0.79%。如果这个模型是可靠的，我们可以利用广义货币供应量M2的变化情况来预测GDP的增长率，如2011年，广义货币供应量M2的初步预期增长16%左右，则可预测得到GDP的增长率约为12.64%。,【本章小结】 一元线性回归模型是最基本的模型，由于实际的需要，我们要设定曲线模型，而有些曲线模型是可以转换成一元线性回归模型，这些模型在计量经济学意义上仍然是线性的。 最常用的曲线模型有对数模型和倒数模型，而对数模型又包括双对数模型和半对数模型。在这些模型中，斜率项系数有着特定的经济学含义，运用这些模型可以帮助我们更深刻地认识经济现象。此外，对常数项也要重新认识，我们可以设定过原点的模型（常数项为零），在倒数模型中，常数项也有特定的含义。 选择合适的模型函数形式是一个非常重要的问题，我们可以遵循一些基本的原则来选择合适的函数形式。,

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