近世代数幻灯片--4.1.素元、唯一分解环
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1、1. 素元、唯一分解,1.1整除及其性质,要在一个整环里讨论因子分解，我们首先需要把整数环的整除以及素数两个概念推广到一般整环里去。,整除的定义,和整数及多项式的整除定义完全一样. 因此,一些最基本的性质可以平移过来.,例1 表达“ ”正确吗？,1.2 单位与相伴元,定义2 整环 的一个元 叫做 的一个单位，假如 是一个有逆元的元。,注意: 两个表达“单位”与“单位元”的区别.,一个整环至少有两个单位，就是1和-1，在一般情形之下，在一个整环里常有两个以上的单位存在（参看本书习题2）。,定理 1 两个单位 和 的乘积 也是一个单位。单位 的逆元 也是一个单位。,整除的性质:,定义3 元b叫做元 的相伴元，假如b是 个一个单位 的乘积：,注1. 相伴关系是等价关系. 注2. 相伴元有另外的描述:,和 是一对相伴元 和 相互整除. (留作练习),例2发现一些整环的单位及一个元a的相伴元。,1.3 真因子,元 永远存在的因子 和 ,.同其它因子区别一下。,定义4 单位以及元 的相伴元叫做 的平凡因子。 其余的 的因子，假如还有的话，叫做 的真因子。,定理 3 整环中一个不等于零的元 有真因子
2、的充分而且必要条件是： b 和c都不是单位。,证明,由定理的证明, 容易得到:,推理 假定 ，并且 有真因子 。 那么c也是 的真因子。,证明 c不是单位, 否则, b是a 的相伴元. c也不会是 a 的相伴元, 否则, b是单位。 证完。,1.4素元,我们知道，一个素数 只有因子 和 ，除了这四个数以外素数 没有其它因子。依照上面的规定， 都是整数环的单位， 都是 的相伴元，所以我们可以说，素数 的一个性质是，它只有平凡因子。素数 还有另外一个性质，就是 或 。依照素数的这些性质，定义素元,定义 整环 的一个元 叫做一个素元，假如 既不是零元，也不是单位，并且 只有平凡因子(或曰: 没有真因子)。,按照这个定义以下事实成立：,定理 2 单位 同素元 的乘积 也是一个素元。,1.5 唯一分解,已经有了素元的定义，让我们现在看一看，在什么情形之下可以说，一个元 可以唯一地分解成素元的乘积。首先我们必须要求， 可以分解成有限素元的乘积：,不然的话，我们根本无法讨论 是不是能唯一地分解。可是 能够写成以上的乘积，也就能够写成以下的素元的乘积：,假如我们把以上的几种分解看作不一样的，那么只要一
3、个元能够写成两个以上的素元的乘积，这个元就不能有唯一的分解；这样我们的问题就没有什么多的意义了。因此我们下以下,注3. 依照这个定义，一个整环的零元和单位一定不能唯一分解.假如，我们把零写成若干个元的乘积,那么某一个 一定是0，但0不是素元。,所以唯一分解问题的研究对象只能是既不对于0也不是单位的元（我们说整数都能唯一分解，也没有把0同 算上）。,注4. 注意“唯一分解”是定义，而不是定理。现在我们就问，一个整环的不等于零的元可以没有分解, 分解也可以不唯一.,例4 (分解不唯一的例子),显然是一个整环。 的元都是复数，我们很容易得到以下事实。,（1） 的一个元 是一个单位，当而且只当 的时候， 只有两个单位，就是 。,假定 是一个单位，那么,但 是一个正整数，同样 也是一个正整数，因此有 。反过来看，假定,那么 ；这就是说， 而显然是单位。,（2）适合条件 的 的元 一定是素元。,但不管 ，b是什么整数， ，因此,因为,由（2）知道，2， 都是 的素元。这就是说，（A）表示4在 里的两种分解。但由（1）， 和 都不是2的相伴元，因而按照定义，以上两种分解不同。这样，4在 里有两种不同的分解。,作业： P130: 3(唯一分解性不讨论),
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