黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题（含精品解析）

1、1 齐齐哈尔市齐齐哈尔市 20192019 届高三第二次模拟考试届高三第二次模拟考试 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对集合进行化简，分别得到两个集合表示的内容，然后取交集 【详解】集合 中：，解得， 集合 中：，即 所以 故选 D 项 【点睛】本题考查了集合的基本概念，集合的运算，解二次不等式，属于简单题. 2.已知复数是纯虚数，其中 是实数，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对复数 进行化简，由于 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为 0，得到 的值，从而得到复数 . 【详解】 因为 为纯虚数，所以，得 所以. 故选 A 项 【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 3.已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直

2、，则该双曲线的实轴长为（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为双曲线的两条渐近线为， 因为两条渐近线互相垂直，所以，得 因为双曲线焦距为，所以 由可知，所以，所以实轴长为. 故选 B 项. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线，实轴长等几何特性，属于简单题. 4.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ） A. -9B. -7C. -5D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在 轴截距的最小值时，所经过的点，即为最优 解，从而得到 的最小值. 【详解】根据约束条件画出可行域，如图所示， 内部（含边界）为可行域， ，化为，为斜率是的一簇平行线，是其在 轴上的截距，当经过 点时，截距最 小，即 最小， 解，得，即，此时 故选 B 项. 3 5.函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在时的函数值，进行判断，得到答案. 【详解】定义域为 ，且 所以为 上的奇函数，A、B 排除. 当时，分子、分母都为正数，故，排除 D 项.

3、故选 C 项. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，通过排除法进行解题，属于简单题. 6.如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数值为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】D 4 【解析】 【分析】 根据程序框图的运行，得到每一步的 和 的值，当停止循环，输出 时，此时的 用表示，令其等于，得 到结果. 【详解】执行程序框图，可得 ，； ，； ， 输出，由得. 故选 C 项. 【点睛】本题考查程序框图的运行，根据输出值求输入值，属于简单题. 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 210B. 208C. 206D. 204 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积. 【详解】 由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为 6， 切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为 6，6 的等腰直角三角形，高为 2， 故该几何体的体积为. 故选 D 项. 5 【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题. 8.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学

4、届的王子，19 岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就 是正十七边形尺规作图之理论与方法 ，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相 加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法. 现有函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 通过材料，理解高斯算法，根据高斯算法进行倒序相加，得到答案. 【详解】 ， 又 ， 两式相加可得 . 故选 A 项. 【点睛】本题考查对题意的理解，倒序相加法求和，属于简单题. 9.在中，角的对边分别为，若的面积，且，则（ ） A. 2B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形面积公式，得到，从而得到，再由余弦定理，求出 的值. 【详解】由， 所以，即 由，且 ， 由余弦定理得： ， . 6 【点睛】本题考查三角形面积公式，同角三角函数关系，余弦定理，属于简单题. 10.设函数的部分图象如图所示，则函数的单调增区间 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像可得到解析式，再对进行化简，然后求出其单调增区间. 【详解】由图像可知

5、， 因为，得到 代入得，得，取，则 所以函数， ， 因此 ， 求的单调递增区间，则 ， 得，. 故选 A 项. 【点睛】本题考查由部分图像求正弦型函数解析式，诱导公式，辅助角公式，求正弦型函数的单调区间，有 7 一定的综合程度，属于中档题. 11.已知若方程有唯一解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据得到解析式，画出图像，对方程进行整理得 ，在同一坐标系下画出等号两边的函数图像，则两个函数图像有且仅有一个交点，找到符 合要求的位置，得到相应的 的范围. 【详解】 方程进行整理得 作出函数的图像，如图所示. 直线恒过，即直线绕点旋转， 当直线过点时，； 当直线与曲线相切时，设切点， ，则切线斜率为 切线方程为 代入过点，得 解得，此时斜率为 可求得. 8 根据图像可知当或时，方程有唯一解. 【点睛】本题考查分段函数的图像，图像的交点与方程的解，利用导数求过一点的函数切线，数形结合的数 学思想，属于难题. 12.已知椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直 轴的直线交椭圆 于两点， 点 在 轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是（ ） A

6、. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据内切圆面积，求得半径，然后得到圆心坐标，利用坐标表示出直线，由圆与直线相切，得圆心 到直线的距离等于半径，算出 ，从而确定直线方程. 【详解】设内切圆半径为 ，则， ， ，内切圆圆心为， 由知， 又，所以方程为， 由内切圆圆心到直线距离为 ， 即 得，所以方程为. 故选 D 项 【点睛】本题考查内切圆的性质，直线的表示，点到直线的距离，属于中档题. 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知两个单位向量 ， 的夹角为，.若，则实数_ 9 【答案】 【解析】 【分析】 由，得，代入，得到关于 的方程，得到 的值. 【详解】 ， ， 而， ， 的夹角为 ，. 【点睛】本题考查向量垂直关系的表达，向量数量积运算，属于简单题. 14.在 4 个不同的红球和 3 个不同的白球中，随机取 3 个球，则既有红球又有白球的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 从 7 个球里取 3 个球，共有 种可能的情况，要求既有红球又有白球，可以从反面考虑，即全是红球

7、和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合要求的，然后再由古典概型公式，得到概率. 【详解】从 7 个球里取 3 个球，共有 种可能的情况， 全是红球的情况有，全是白球的情况有， 将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况， 所以概率为 【点睛】本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题. 15.若曲线在点处的切线与直线垂直，则函数的最小值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 对函数求导，代入切点，得到切线斜率，然后利用垂直得到关于 的方程，求出 ，再利用基本不等式，得到 10 最小值. 【详解】 ， ， 代入切点横坐标得到切线斜率 ， 切线与直线垂直 得， .当且仅当时，即时，等号成立 故答案为 【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，两条直线垂直的转化，基本不等式求和的最小值，属于 简单题. 16.已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，若平面， ，则球 的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理可得到的外接圆半径，再利用勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】设的外接圆半径 ， 由正弦定理得， 由题意知球半径 满足，得

8、， 球表面积. 【点睛】本题考查正弦定理，球的几何性质，球的表面积计算，属于简单题. 三、解答题三、解答题 ：共：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知等差数列的前 项和为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前 项和，求满足的最小的 值. 【答案】 （1）；（2）14. 【解析】 【分析】 11 （1）设出等差数列的基本量，根据条件，得到方程，解出首项和公差，可以得到的通项. （2）根据（1）得到的通项，求出前 项和，得到的通项，然后利用裂项相消求和得到，从而求出满 足的最小的 值. 【详解】 （1）设等差数列的公差为 ， 由得， 由，成等比数列 得且， ， ， 等差数列的通项公式为. （2）， ， ， 由得， ， 的最小值为 14. 【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，裂项法求数列通项，属于中档题. 18.某职业学校有 2000 名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了 100 名学生，并将统计 结果绘成直方图如图所示. 12 （1）试估计该校学生在校月消费的平均

9、数； （2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额 （元）和服务部可获得利润 （元） ，满足关系 式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题： （i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为 ，求 的分布列及数学期望. （ii）若校服务部计划每月预留月利润的 ，用于资助在校月消费低于 400 元的学生，估计受资助的学生每 人每月可获得多少元？ 【答案】 （1）680；（2） （i）见解析；（ii）160. 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图，取每组中点和相应的频率计算学生月消费的平均数. （2） （i）根据每个学生在校的月消费金额 （元）和服务部可获得利润 （元）之间的函数关系，得到获得 利润的情况，及每种情况所对应的概率，列出分布列，求出数学期望. （ii）根据（i）中的数学期望，得到校服务部的每月总利润，再求出受资助学生人数，得到受资助的学生 每人每月可获得的钱数. 【详解】 （1）学生月消费的平均数 . （2） （i）月消费值落入区间、的频率分别为 0.05、0.80、0.15， 因此， 即 的分布列为 103050 0.050.800.15 的数学期望值. （ii）服务部的月利润为（元） ， 受资助学生人数为， 每个受资助学生每月可获得（元）. 【点睛】本题考查频率分布直方图计算平均数，求变量的分布列及数学期望，属于简单题. 13 19.如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，. （1）求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由线线垂直，证明线面垂直，即平面，再证明 （2）以 点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过法向量之间的夹角余 弦值，得到二面角的正弦值. 【详解】 （1）在直三棱柱中，平面, ， 又，且，平面， 平面，又平面， . （2）以 点为坐标原点，分别以，为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系. 设，则， 直线的方向向量， 平面的法向量， 可知， ， 14 设平面的一个法向量，取， 设平面的一个法向量，取， 记二面角的

《黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题（含精品解析）》由会员【****分享，可在线阅读，更多相关《黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题（含精品解析）》请在金锄头文库上搜索。