2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

1、1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象,正弦函数、余弦函数的图象,(，0),(2，0),(2，1),【点拨】(1)辨析y=sinx,x0,2与y=sinx,xR的图象 函数y=sinx,x0,2的图象是函数y=sinx,xR的图象的一部分;,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx,x2k,2(k+1),kZ且k0的图象与函数y=sinx,x0,2的图象形状完全一致,因此将y=sinx,x0,2的图象向左、向右平行移动(每次移动2个单位长度),就可得到函数y=sinx,xR的图象.,(2)“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象优缺点 “几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法.该方法作图较精确,但较为烦琐; “五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法.,提醒:作图象时,函数自变量要用弧度制,自变量与函数值均为实数,因此在x轴、y轴上可以统一单位,这样作出的图象正规便于应用.,【自我检测】 1.对于正弦函数y=sinx的图象,下列说法错误的 是 ( ) A.向左右无限伸展 B.与y=cosx的

2、图象形状相同,只是位置不同 C.与x轴有无数个交点 D.关于y轴对称,【解析】选D.观察正弦函数y=sinx的图象可知,A,C正 确,D错误.y=sinx的图象向左平移 个单位可得y=cosx 的图象,故B正确.,2.函数y=cosx,xR图象的一条对称轴是 ( ) A.x轴 B.y轴 C.直线x= D.直线x=,【解析】选B.观察y=cosx,xR的图象可知,直线x=0即y轴是一条对称轴.,3.请补充完整下面用“五点法”作出y=-sinx(0x 2)的图象时的列表. _;_;_.,【解析】由五点作图法知处应该填;处应该填0;处应该填1. 答案: 0 1,4.用“五点法”画出y=2sinx在0,2内的图象时,应 取的五个点为_. 【解析】可结合函数y=sinx的五个关键点寻找,即把 y=sinx的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可. 答案:(0,0), ,(,0), ,(2,0),5.函数y=sinx,x0,2的图象与直线y=- 的交点有_个.,【解析】如图所示: 答案:2,类型一 “五点法”作正弦函数和余弦函数的图象 【典例】1.对于余弦函数y=cosx的图象,有以下三项描述: 向

3、左向右无限延伸;,与x轴有无数多个交点; 与y=sinx的图象形状一样,只是位置不同. 其中正确的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,2.用“五点法”画出函数y= +sinx,x0,2的图象.,【审题路线图】1.函数y=cosx的性质图象与y=sinx的区别和联系. 2.作y= +sinx的图象y=sinx的图象五点法.,【解析】1.选D.如图所示为y=cosx的图象. 可知三项描述均正确.,2.按五个关键点列表:,描点,并将它们用光滑的曲线连接起来.(如图),【延伸探究】将本例2中“x0,2”改为“x ”,如何画函数图象.,【解析】(1)列表:,(2)描点,并用光滑曲线连接可得其图象,如图所示:,【方法技巧】用“五点法”画函数y=Asinx+b(A0)或y=Acosx+b(A0)在0,2上简图的步骤 (1)列表:,(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点: (0,y1), (,y3), (2,y5),这里的 yi(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的.,(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进行连接. 提醒:对于正、余弦函数的图

4、象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.,【拓展延伸】与正弦函数、余弦函数相关函数的图象的画法 1.首先将函数解析式化简,然后根据图象的性质画图.要注意特殊点,如最高点及与坐标轴的交点. 2.也可以根据图象变换作图,如y=sin|x|的图象关于y轴对称.只要作出y=sinx,x0,2的图象,利用对称性,可以作出y=sin|x|,x-2,2的图象.,【变式训练】(2018长沙高一检测)利用正弦或余弦 函数图象作出y= 的图象.,【解析】由于y= =|cosx|,因此只需作出y=|cosx|的图象即可,而y=|cosx|可由y=cosx将x轴下方的图象折到x轴上方,图象如下:,类型二 正、余弦函数图象的简单应用 【典例】1.使不等式 -2sinx0成立的x的取值集合是 ( ),2.(2018梅州高一检测)求y= 的定义域. 3.判断方程x2-cosx=0的根的个数.,【审题路线图】1.求解 -2sinx0变形sinx 找出正弦曲线sinx= . 2.定义域2sinx-10. 3.求解x2-cosx=0x2=cosx构造函数

5、图象的交点.,【解析】1.选C.不等式可化为sinx . 方法一:作图,正弦曲线及直线y= 如图所示. 由图知,不等式的解集为,方法二:如图所示不等式的解集为x|2k- x 2k+ ,kZ.,2.2sinx-10得sinx ,画出y=sinx的图象, 可知sinx 的解集,3.令f(x)=x2,g(x)=cosx,在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.,由图知,f(x)与g(x)的图象有两个交点,则方程x2-cosx=0有两个根.,【延伸探究】 1.若把本例1中不等式改为 sinx ,试求x的取值集合.,【解析】首先作出y=sinx在0,2上的图象.如图所示,作直线y= ,根据特殊角的正弦值,可知该直线与 y=sinx,x0,2的交点横坐标为 和 ; 作直线y= ,该直线与y=sinx,x0,2的交点横 坐标为 和 .,观察图象可知,在0,2上,当 或 时,不等式 sinx 成立. 所以 sinx 的解集为x| +2kx +2k 或 +2kx +2k,kZ.,2.你能用三角函数线解决本例2中的求定义域吗?,【解析】如图: 所以解集是,【方法技巧】 1.用三角函数的图象解

6、sinxa(或cosxa)的方法 (1)作出y=a,y=sinx(或y=cosx)的图象. (2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值. (3)确定sinxa(或cosxa)的解集.,2.利用三角函数线解sinxa(或cosxa)的方法 (1)找出使sinx=a(或cosx=a)的两个x值的终边所在的位置. (2)根据变化趋势,确定不等式的解集.,【补偿训练】1.求下列函数的定义域. (1)f(x)= (2)f(x)=,【解析】(1)要使f(x)= 有意义,则必须满足 2sinx+10,即sinx- ,结合正弦曲线或三角函数 线,如图所示:,结合图象可知,函数f(x)= 的定义域为,(2)要使函数f(x)= 有意义,必须使sinx-cosx0.利用图象. 在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.,在0,2内,满足sinx=cosx的x为 , ,再结合正弦、余弦函数的图象, 所以函数f(x)= 定义域为,2.若集合M= ,N= ,0,2,求MN.,【解析】首先作出正弦函数,余弦函数在0,2上的 图象以及直线y= ,如图所示.,由图象可知,在0,2内, 当sin 时, 当cos 时, 所以在0,2内,同时满足sin 与cos 时, 的取值范围是 . 所以MN=,【核心素养培优区】 【易错案例】利用正弦、余弦函数图象判断方程根 的个数 【典例】方程sinx=lgx的解有_个.,1,【失误案例】如图所示,y=sinx与y=lgx的图象有且只有1个公共点,所以方程sinx=lgx只有1个解.,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是y=lgx的图象所过的特殊点找错,y=sinx的图象,分布区域找错,实际上,y=lgx过点(10,1).y=sinx的图象在y=-1和y=1之间.,【自我纠正】如图所示,y=sinx与y=lgx的图象有3个交点,故方程有3个解. 答案:3,

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