3.4基本不等式
44页1、新课导入,如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?,基本不等式的几何背景.,实际上,我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个“风车”图案.,赵爽弦图,从图形的面积的角度你能找不一些不等关系吗?,3.4基本不等式,教学目标,知识与能力,1.学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;,2.进一步掌握基本不等式,会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题.,1.通过实例探究抽象基本不等式;,过程与方法,2.通过几个例题的研究,进一步掌握基本,不等式,并会用此定理求某些函,数的最大、最小值;,3.会利用基本不等式证明一些比较简单的证明题,从而从基本不等式中衍生新的结论.,1.通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;,情感态度与价值观,2.引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德;,3.积极倡导同学们
2、进行几何与代数的结合运用,发现各种事物之间的普遍联系.,重点,难点,教学重难点,1.应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程;,2.掌握基本不等式,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值.,1.基本不等式等号成立条件;,2.利用此不等式求函数的最大、最小值.,探究,我们继续导入中的问题,观察下图中的不等关系.,由图中可得:,为什么?,在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a和b,那么正方形的边长为,这样,4个直角三角形的,由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以我们就得到了一个不等式:,面积的和是2ab,正方形的面积为,思考:,1、不等式,在什么条件下,都成立吗?,形的角度,a0,b0,数的角度,从而,a和b是实数时,不等式都成立.,2、公式中等号成立的条件是什么?,形的角度,数的角度,a=b,当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有不等式等号成立.,3、公式两边具有何种运算结构?,数的角度:平方和不小于积的2倍,小结:,由上面的讨论,我们得到一个结论:,(当且仅当a=b时
3、,等号成立),引申,1、认识基本不等式,特别的,如果a0,b0,我们用,去,代替a和b,可得,通常我们把上,式写成,(当且仅当a=b时取等号),从而我们得到了这个基本不等式.,2、从不等式的性质推导基本不等式的性质.,分析:我们从几何图形中的关系获得了基本不等式,能否利用不等式的性质,直接推导出这个不等式呢?,要证(2),只要证,要证,(1),只要证,显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时, (4)中的等号成立.,3、这样,我们又一次的得到了基本不等式,分析法即为,之前证明基本不等式时用的以结论来推过程的方法.,小结:,1、经过以上的引申,我们得到了一个基本,不等式,2、我们应熟练掌握分析法证明不等式.,是什么?,思考:,我们之前用分析法证明了基本不等式,它有什么几何意义吗?,在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.,根据圆的性质,我们知道:,半径不小于半弦,从而得到:,概念,1、如果把,看作是正数a、b的等差中项,,看作是正数a、b的等比中项,,那么该定理,可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.,2、
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