3.4基本不等式

新课导入,如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,基本不等式的几何背景.,实际上，我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个“风车”图案.,赵爽弦图,从图形的面积的角度你能找不一些不等关系吗？,3.4基本不等式,教学目标,知识与能力,1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；,2.进一步掌握基本不等式,会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题.,1.通过实例探究抽象基本不等式；,过程与方法,2.通过几个例题的研究，进一步掌握基本,不等式,并会用此定理求某些函,数的最大、最小值;,3.会利用基本不等式证明一些比较简单的证明题，从而从基本不等式中衍生新的结论.,1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣;,情感态度与价值观,2.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德;,3.积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.,重点,难点,教学重难点,1.应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程;,2.掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值.,1.基本不等式等号成立条件;,2.利用此不等式求函数的最大、最小值.,探究,我们继续导入中的问题，观察下图中的不等关系.,由图中可得：,为什么？,在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a和b，那么正方形的边长为,这样，4个直角三角形的,由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以我们就得到了一个不等式：,面积的和是2ab，正方形的面积为,思考：,1、不等式,在什么条件下,都成立吗？,形的角度,a>0,b>0,数的角度,从而，a和b是实数时，不等式都成立.,2、公式中等号成立的条件是什么？,形的角度,数的角度,a=b,当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有不等式等号成立.,3、公式两边具有何种运算结构？,数的角度:平方和不小于积的2倍,小结：,由上面的讨论，我们得到一个结论:,(当且仅当a=b时，等号成立),引申,1、认识基本不等式,特别的，如果a>0,b>0,我们用,去,代替a和b，可得,通常我们把上,式写成,（当且仅当a=b时取等号）,从而我们得到了这个基本不等式.,2、从不等式的性质推导基本不等式的性质.,分析：我们从几何图形中的关系获得了基本不等式，能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？,要证（2），只要证,要证,（1）,只要证,显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立.,3、这样，我们又一次的得到了基本不等式,分析法即为，之前证明基本不等式时用的以结论来推过程的方法.,小结：,1、经过以上的引申，我们得到了一个基本,不等式,2、我们应熟练掌握分析法证明不等式.,是什么？,思考：,我们之前用分析法证明了基本不等式，它有什么几何意义吗？,在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.,根据圆的性质，我们知道：,半径不小于半弦,从而得到：,概念,1、如果把,看作是正数a、b的等差中项，,看作是正数a、b的等比中项，,那么该定理,可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.,2、在数学中，我们称,为a、b的算术,平均数 ，称,为a、b的几何平均数.本节,定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,实际问题,1、用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？,2、一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？,分析：对于（1），矩形菜园的面积是确定的.因此我们要解决的问题是：当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆的周长最短?,对于（2），矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定.我们要解决的问题是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积越大？,解：,（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m.,由,可得,即x+y20,当且仅当x=y=10时等号成立.,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（362x）m，其中0x,其面积S,x（362x）,×2x（362x）,当且仅当2x362x，即x9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2.,解法二：设矩形菜园的长为x m,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积,为xy m2.由,可得xy81.,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.,从上面的实际问题中，你能得到什么结论呢？,小结：,1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M,为定值，则ab,等号当且仅当ab时成立.,2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab,等号当且仅当ab时,成立 .,应用,某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的关系可近似地表示为,求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？,解：,每吨平均成本为,（万元），则,10,即,当且仅当,即x=200时，取等号,小结：,用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：,1、先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；,2、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；,3、在定义域内，求出函数的最大值或最小值；,4、正确写出答案.,求最值,已知：0x,，求函数y=x（1-3x）的最大值.,利用二次函数求某一区间的最值,分析一、,原函数式可化为：,y=-3x2+x，,分析二、,挖掘隐含条件,3x+1-3x=1为定值，且0x,则1-3x0；,即x=,ymax=,0x,，1-3x0,y=x（1-3x）=,3x（1-3x）,当且仅当 3x=1-3x,可用均值不等式法,解：,小结：,1、利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点达到：一正二定三能等!,具体指的是什么？,(1)各项必须为正;,(2)含变数的各项和或积必须为定值;,(3)必须有自变量值能使函数取到 = 号.,证明,2、主要用到的方法和技巧是：凑、拆,使之出现和为定值或积为定值特征.,求证：在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.,设矩形的长为x，宽为y，那么该矩形的周长2(x+y),面积为xy，这样问题就转化为：,（1）如果2(x+y)(从而x+y）为定值，那么正数x、y 相等时，xy最大.,（2）如果 xy为定值，那么正数 x=y时，2(x+y)最小，（从而 x+y）最小.,解：,课堂小结,(当且仅当a=b时，等号成立).,1、经过本节课的学习，我们得到了一个,基本不等式,其中，a>0,b>0,2、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，,则ab,等号当且仅当ab时成立.,3、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab,等号当且仅当ab时,成立 .,4、利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点达到：一正二定三能等!,（2005 上海）已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc.,解：a，b，c都是正数,ab2,bc2,ca2,（ab）（bc）（ca）,即（ab）（bc）（ca）abc.,高考链接,课堂练习,1、若x>0,f(x)= 的最小值为_;此时x=_.,若x>0,f(x)= 的最小值为_;此时x=_.,12,2,-12,-2,直接应用基本不等式即可，注意等号成立的条件！,2、阅读下题的各种解法，指出有错误的地方.,答：前两种解法中都没有注意等号成立的条件，均值不等式只在等号同时成立的时候，等号才成立.只有第三种解法是对的.,还有其他方法吗？,3、下列函数中，最小值是4的是（ ）,4、建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 _元.,3600,C,5、求证,证明:,当且仅当a=5时，等号成立.,6、(1)设 a与b都为实数且a+b=3,的最小值_.,(2)求函数f(x)=x (4-x) (0<x<4)的最大值_.,(3)若x>-1，则函数,的最,小值_.,4,9,习题答案,1.(1) 设两个正数为a，b，则a>0,b>0,且ab=36,所以 a+b 当且仅当a=b=6时取等号.答:当这两个正数均为6时,它们的和最小.,设两个正数为,依题意a>0,b>0,且a+b=18,所以当且仅当a=b=9时,取等号.答:当这两个正数均为9时,它们的和最小.,