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高考试题的探究（一）：安徽高考数学试题的压轴题的解答与反思-数学通讯

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1、安徽高考数学试题的压轴题的解答与反思2014年安徽省理科试题第21题的确让考生和教师费尽思考，第（I）问为大家所熟悉的待证式即为伯努利不等式的特例，运用导数可简单证明，而（II）的论证则要困难得多，绝大部分考生都会觉得束手无策！面对高考的参考答案大都感到“想不到”或“突兀”，自然“不知从何入手”本文结合本校理科高考学生的答题情况，对今后的高三复习教学提出一些思考，仅供同仁参考.1.考题设实数，整数.（）证明；当且时，；（）数列满足.证明：.2.审题本题第（）问的待证式即为伯努利不等式的特例，其求解思路可以构造函数，进行常规处理；如果注意到“整数”，即整数，自然应该想到数学归纳法的灵活应用，只不过是条件给出的多变；如果注意到待证式左右两侧的结构特征，或许会联想到二项式定理的灵活应用.第（）问是复杂的一阶递推数列的单调性与有界性的证明问题，有较大的难度与区分度，在考查基础知识、基本技能的同时考查分析问题、解决问题的能力，有利于高校选拔人才.3.第（）问的处理思路3.1 数列的单调性的研究的通法是比较法，其次是构造函数法本问要证，即数列单调递减，只需证明即，只需证自然先证3.2数列不等式的证

2、明的通法是归纳法当时，成立；假设当时，成立，则当时，要证明势必要证即3.3 分步设问，层层递进，上问结果，用于下问由第（）问可知：则：4.根据思路规范书写4.1 数学归纳绝招应用先证.当时，成立；假设当时，成立，此时，则当时，（利用式），所以由归纳法原理可知；再证因为，所以成立；综上4.2 构造函数灵活处理令则且所以在上单调递增，因而，当时，当时，则且故成立；假设当时，不等式成立；则当时，即所以时，原不等式也成立综合可得，对于一切自然数，不等式均成立.5.反思此题旨在考察学生的创造性、综合性和灵活性.此题的得分率很低，完全正确解答此题的考生非常少，是一道选拔性极强的试题.今年的高三老师和考生都普遍感到：高三的数列复习不到位，特别与此压轴题相差甚远.此题综合了数列、函数和不等式等知识，学生必须对函数的单调性和数列单调性的联系和区别要特别清楚,对学生思维的灵活性和观察问题的能力要求高,对今后的高三复习教学有何指导意义呢？5.1 夯实基础理解概念的数学本质理解概念的数学本质，不是机械地、僵化地理解，而是理解概念的强大的生命力，譬如：数学归纳法是研究关于自然数“”的有关命题，其中“”

3、只是自然数的表述的一种形式，当然也可以自然数“”，“”，；二项式定理中“”，当然也可以自然数“”，“”，；夯实基础，理解概念的数学本质是我们高三第一轮复习的重中之重，不能有丝毫的懈怠.高考题的百分之七十左右是中低档题；综合性的问题都能分解为基础题，最终是概念的理解；只有概念理解了概念的数学本质，解题的基础打牢了，随着能力的提升，综合性试题就能循序渐进地去解决.5.2淡化技巧强化解题的通性通法技巧只是雕虫小技，通法才是阳光大道.我们的高三复习应该强调通性和通法，不能介绍太多的技巧.可以说，高三的解题教学中，客观题的解题训练中，在常规方法的基础上，可以强化利用一些特殊的方法：特殊值法、排除法等.解答题的解题教学务必以常规的通性通法为主.在教学中经常会出现如下情况：解析几何的问题，用代数方法解决问题是通法，但我在督导中有的老师常用平面几何的方法玩技巧，快速解决，而不讲代数的方法.这就有悖于学生解析几何的本质.本题是复杂的一阶递推数列的单调性与有界性的证明问题，数列的单调性的研究的通法是比较法与构造函数法.如果运用比较法，只需证明或；如果运用构造函数法，因为势必要研究的单调性；函数与数列的

4、综合性试题的一个特点是：分步设问，层层递进，上问结果，用于下问.因此，运用数学归纳法证明的第二个环节的一“凑”归纳假设，二“凑”结论时要想方设法地应用第（）问的伯努利不等式的特例5.3 分层教学摈弃机械的题海战术学生的认知的基础和能力有差异，我们只能因材施教；一刀切的难题教学只会挫伤中、差学生的积极性，他们会感到学习是件非常痛苦的事.我们的高三复习教学中要分层教学，对不同层次的学生提出不同的要求.我们应该让不同认知结构和能力的学生得到不同的思维锻炼，给他们提出切合实际的要求.当然，具有高思维的学生，应该有高要求，也不能因为其它学生而降低他们的学习需求，给优等生的高要求也是分层教学的目的之一.数学教学的本质是发展学生的智慧，而不是为了做题.我们的老师为了取得高考的好成绩，每种题型反反复复的练习，学生成为了解题的机器，学生的思维机械、僵化，并且是具有条件反射功能的机器.一旦如此，“见了试卷，首先把脑子抠出来，朝裤腰带上一别：我要做题了！”造成平时做成题、成卷时，成绩优异，真正高考时，却成绩平平5.4高屋建瓴延伸适度的数学背景因为高考试题的命制有两个有利于，第一个就是有利于高校选拔人才，而高考的命题专家大多是高校教授.作为大学的教师当然希望考生具有一定的高等数学的启蒙.从全国大部分高考试题中发现，许多考题具有一定的高等数学背景.当然，此类题的解答原则上是不需要高等数学的知识的.如果考生具有高等数学的简单知识，高观点下的初等解法就简单.在学生能够接受的前提下，高三的复习可以适度的延伸.也符合“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.延伸的关键是适度，一定要按照学生的接受能力作介绍和补充.7

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