高考专题 定积分求值及求曲边多边形的面积-高中数学（理）黄金100题---精校解析Word版

1、第30题 定积分求值及求曲边多边形的面积I题源探究黄金母题【例1】计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】（1）（2）（3）（4）（5）精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P53例1、例2【母题评析】定积分的计算是高考最基本的考点，本题考查了如何利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分【思路方法】牛顿-莱布尼茨公式表明，计算定积分的关键是找到原函数，只要能找出原函数，则定积分等于原函数的上限函数值减去下限函数值也可以利用定积分的性质和几何意义计算定积分，如下面的例2【例2】计算由直线，曲线以及轴所围成图形的面积【答案】【解析】解法一：作出直线，曲线的草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得直线与曲线交点的坐标为直线与轴的交点为因此，所求图形的面积为解法二：同解法一得，解法三：解法四：精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P57例2【母题评析】利用定积分求平面图形的面积是高考最基本的考点，本题考查了如何利用定积分求平面图形的面积【思路方法】在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函

2、数以及积分的上、下限，最后利用定积分的基本性质和牛顿-莱布尼茨公式计算定积分【例3】由定积分的性质和几何意义，说明下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由定积分的几何意义知，该定积分表示的是圆心在原点半径为的上半圆的面积，（2）由定积分的几何意义知，该定积分表示的是四分之一圆与直线所围成的弓形的面积（如图），精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P60习题17B组第1题【母题评析】利用定积分的基本性质和几何意义计算定积分是高考最基本的考点，本题考查了如何利用定积分的几何意义计算定积分【思路方法】第一步，画出被积函数的图像；第二步，作出直线计算函数所围成的图形；第三步，由定积分的几何意义知所求定积分为曲边梯形的面积的代数和II考场精彩真题回放【例1】【2015湖南理11】 【答案】0【解析】【例2】【2015年高考天津理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 【答案】【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积【例3】【2015年高考陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，

3、导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是【命题意图】这类题主要考查定积分几何意义与运算能力定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易【难点中心】解决这类题需要掌握的知识点如下：1微积分基本定理；2定积分的几何意义，即由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积是；3定积分的运算性质等III理论基础解题原理1相关术语：对于定积分（1）称为积分上下限，其中；（2）：称为被积函数；（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为2定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积可表示数与轴，围成的面积

4、的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心： 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数） 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数4定积分的运算性质：假设存在（1）作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度（2）作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如（3），其中作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进

5、行拆分，分别求解5若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算（1）若为奇函数，则；（2）若为偶函数，则6利用定积分求曲面梯形面积的步骤：（1）通过作图确定所求面积的区域；（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数；（3）若时，始终有，则该处面积为IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【技能方法】运用微积分基本定理或定积分的几何意义以及定积分的运算性质计算定积分，求曲边图形的面积【易错指导】有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示需分段通常有两种情况：（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写V举一反三触类旁通考向1 利用微积分基本定理求定积分【例1】【2018四川凉山州高中毕业班第二次诊断性检测】（ ）A B C D【答案】A【例2】的值为（ ）A B C1 D2【答案】D【解析】【点评】一个函数的导数是唯一的，而其原函数则

6、有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本 求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算【跟踪练习】1下列计算错误的是 （ ）A B C D【答案】D2（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得，故选A3（ ）A B C D 【答案】C【解析】被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简，4【2018安徽淮南二中、宿城一中高三第四次联考】设，则 （ ）A B C D【答案】B【解析】由已知 ，故选B5_【答案】【解析】由题意得考向2 利用几何意义求定积分【例3】【2018河北衡水金卷高考模拟一】已知函数则（ ）A B C D【答案】D【思路点拨】（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分；（2）若被积函数具备“”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义，运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同【例4】计算定积分【答案】【跟踪练习】1【2018山东枣庄三中高三一调模拟】已知函数，则_【答案】【名师点睛】定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函

7、数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为02【2018河北武邑中学高三上学期第二次调研】已知函数，则_【答案】【解析】由题意结合定积分的法则可得：考向3 已知定积分求参数的值【例5】【2018天津市部分区2018届高三上学期期末考试】已知曲线与直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则_【答案】4【解析】联立方程可得，解得x=0，或x=，先根据题意画出图形，直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积S=，而=（kx2x4）=k2k2=k2=4，解得k=4，故答案为：4【名师点睛】本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积【例6】若，则的值是_【答案】【例7】已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为_【答案】-3【思路分析】首先求出函数的导函数，然后根据其几何意义及图象过特殊点确定出的值，再利用定积分求得图象阴影部分的面积，最后通过建立简单方程可求得的值【解析】因为，于是由题意，知，所以 ，又由，易知，所以【跟踪练习】1已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为 （ ）A1 B0 C1 D2【答案】A轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，即，解得或 (舍去)，故选2【2018湖北咸宁高三重点高中11月联考】若，则=_【答案】-1【解析】，据此可得：2设若，则 【答案】1【解析】3【2018福建莆田六中高三下学期第一次模拟】若，则_【答案】3【解析】，所以考向4 利用定积分求曲边图形的面积【例8】【2018皖江名校高三12月份大联考】由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A3 B C D【答案】A【名师点睛】本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作

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