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2017高中数学课本典例改编之必修一：专题一集合 (含解析)

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常见问题

1、一、题之源：课本基础知识1.集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：元素|元素的特征，例如2.常用数集及其表示方法（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、（2）正整数集N*或N+ ：1、2、3、（3）整数集Z：-2、-1、0、1、（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集R：全体实数的集合（6）空集：不含任何元素的集合3.元素与集合的关系：属于，不属于,例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA4.集合与集合的关系：子集、真子集、相等（1）子集的概念如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，记作（2）真子集的概念若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 记作AB或BA.（3）集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.5.重要结论（1）传递性：若，则,

2、（2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6.含有个元素的集合,它的子集个数共有个；真子集有1个；非空子集有1个(即不计空集)；非空的真子集有2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB（2）一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集记作AB（读作A并B），即AB=x|xA，或xB（3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作, 二、题之本：思想方法技巧1.对于集合问题，一定要抓住集合的代表元素，要注意区分集合中元素的形式，你注意区分下面几个集合：；.2.集合中的元素具有无序性和互异性。如集合隐含条件，集合不能直接化成.3.由于空集是任何非空集合的真子集，在解题中如果思维不够缜密，遇到或AB=就有可能忽视的情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。如：，若，求实数的值.(不要遗忘=0的情况）4.下面几个等

3、价关系在解题中经常用到： AB=AAB=BAB=。5.方程组解的集合可看作点集.例：解的集合为(2，1).6.数形结合是解集合问题时的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决.7.解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。三、题之变：课本典例改编1.原题(必修1第七页练习第三题（3）判断下列两个集合之间的关系：A= .改编已知集合，集合，则（）ABC D【答案】D.【解析】，，故选D .2.原题(必修1第十二页习题1.1 A组第10题）已知集合，求，改编1 已知全集且则等于（） A.B. C. D.【答案】C.改编2 设集合，则等于（）A B C D【答案】B.【解析】，所以，故选B .改编3 已知集合集合则等于（）AB C D【答案】D.【解析】集合，故选D . 3.

4、原题（必修1第十二页习题1.1B组第一题）已知集合A=1，2，集合B满足AB=1，2，则这样的集合B有个.改编1 已知集合A、B满足AB=1，2，则满足条件的集合A、B有多少对？请一一写出来【答案】有9对；可以是：，1，2；1，1，2；1，2；2，1，2；2，1；1，2，1，2；1，2，1；1，2，2；1，2，【解析】AB=1，2，集合A，B可以是：，1，2；1，1，2；1，2；2，1，2；2，1；1，2，1，2；1，2，1；1，2，2；1，2，则满足条件的集合A、B有9对.改编2 已知集合有个元素，则集合的子集个数有个，真子集个数有个.【答案】；.【解析】子集个数有个，真子集个数有个.改编3 满足条件的所有集合有个.【答案】4.改编4 满足的集合有个。【答案】4【解析】符合条件的集合A有，共4个.改编5 已知，若非空集合A满足，对任意都有，则这样的集合有个。【答案】7【解析】符合条件的集合A有，共7个改编6 已知，若集合A中有4个元素，且对任意都有，则这样的集合有个。【答案】6【解析】符合条件的集合A有，共6个。4.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编用表示非空集合中的元素个数，定义,若，且,则由实数的所有可能取值构成的集合= .【答案】.【解析】由，而，故由得当时，方程只有实根，这时当时，必有，这时有两个不相等的实根，方程必有两个相等的实根，且异于，有，可验证均满足题意，故5.原题（必修1第四十四页复习参考题A组第四题）已知集合A=x|=1，集合B=x|ax=1，若BA，求实数a的值.改编已知集合A=x|x-a=0，B=x|ax-1=0，且AB=B，则实数a等于 .【答案】1或-1或0.

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