值域-求值域方法大全与习题加详解
25页1、求求值值域域方方法法 函数值域的求法方法有好多,?要是题目?同,或者说稍微有一个数?出现?题, 对?们来说,解题的思路?能就会出现非常大的区别.这里?要弄几个出来,大家一起看一?. 函数的 值域取决于定?域和对应法则?求函数的值域要注意优先考虑定?域 ? 常常用用求求值值域域方方法法 ?令 令?直直接接?察察法法?利用已有的基本函数的值域?察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数?如?比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, ?值域?通过?察直接得到? 例例 令 令?求函数 1 ,1,2yx x = 的值域? 例例 以 以? 求函数 x3y= 的值域? 答案?值域是? 3 , ?同同?练练? 令 令?函数 2 2 1 x y + =的值域. ? 解? 2 1 0yx,试求yxlglg+的最大值? 最大值2lg? ?左 左? ?换换元元法法? ?角换元法?有时候?了沟通已知?未知的联系?们常常引进一个?几个?新的?来 ?替原来的?实行这种?变?换?暴露已知?未知之间被表面形式掩盖着的实质?发现解题 方向?这就是换元法?在求值域时?们?通过换元将所给函数?值域容易确定的另
2、一函数?而求 得原函数的值域? 例例 令 令?求( )1f xxx=+的值域? 解?10xt= ?则 2 1(0)xtt= ? 2 22 155 ( )(1)1 244 f xftttt = + =+ ? 所?函数值域? 5 ? 巧 ? 评评注注?利用引入的新变?t?使原函数消去了根号?转?了关于t的一元二次函数?使?题得?解决?用 换元法求函数值域时?必须确定新变?的取值范围?它是新函数的定?域? 小小结结? ?同同?练练? 左 左?求函数xxy21=的值域? 解?由021x?得 2 1 x?()021=ttx 得 2 1 2 t x =?于是()11 2 1 2 1 2 2 += =tt t y?因?0t?所? 2 1 y?故所求函数值域?与- ?令 以 成? 例例 以 以?求函数 22 1xxxy+=的值域? 解?设 = 2 sin x?则 () +=+=+= 4 2sin 2 2 2 1 2cos1 2 1 2sin 2 1 sincossin 2 y? 所? 2 21 2 21+ y?故所求函数值域? + 2 21 2 21 ,? ?同同?练练? 巧 巧?求函数 2 x54x
3、y+= 的值域? 解?由 0x5 2 ?得 5|x| 故? , 0,cos5x= 4) 4 sin(10sin54cos5y+ +=+= ? 0 4 5 44 + 当 4/= 时? 104ymax+= 当 = 时? 54ymin= 故所求函数的值域? 104 ,54+ 小小结结? ?同同?练练? 5 5? 令 令?求函数xxy21+=的值域. ? 以 以?求函数 2 ) 1x(12xy+= 的值域? 解?因 0) 1x(1 2 + 即 1) 1x( 2 + 故? , 0,cos1x=+ ? 1cossincos11cosy 2 +=+= 1) 4 sin(2+ += ? + 4 5 4 0 ,0 211) 4 sin(20 1) 4 sin( 2 2 + + + 故所求函数的值域? 21 , 0+ 左 左?已知函数)(xf的值域? 9 5 , 8 3 ?求函数)(21)(xfxfy+=的值域. ? ?巧 巧?函函数数有有界界性性法法?方方程程法法? 直接求函数的值域困难时?利用已学过函数的有界性?来确定函数的值域? ?们所说的单调性?最常用的就是?角函数的单调性? 例例 1?求函数 3
4、sin 3sin + = x x y的值域? 解?因?03sin+x?所?3sin3sin=+xyxy?则 () y y x + = 1 13 sin 由于1sinx?所? () 1 1 13 + y y ?解得 2 1 2y?故所函数的值域?与-以?-令 以 成? 求函数 1 1 2 2 + = x x y 的值域 110 1 1 2 + + = + = =+ + = + + += += + + + + ?5 5?数数形形结结合合法法?函数的图?对于一些函数?如二次函数?段函数等?的求值域?题?们? ?借?形象直?的函数图象来?察?函数值的变?情况?再有的放矢地通过函数解析式求函数最值?确定 函数值域?用数形结合法?使?算过程大大简? ?题型是函数解析式?有明显的某种几何意?如两点的距离公式直线斜率等等?这类题目若?用数形结 合法?会更加简单?一目了然?赏心悦目? 例例令 令? 求函数 2 2 23 ( 20) ( ) 23 (03) xxx f x xxx += 故所求函数的值域? ,10+ 例例 左 左?求函数 5x4x13x6xy 22 += 的值域. 解?原函数?变形? 22
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