值域-求值域方法大全与习题加详解

求求值值域域方方法法 函数值域的求法方法有好多,?要是题目?同,或者说稍微有一个数?出现?题, 对?们来说,解题的思路?能就会出现非常大的区别.这里?要弄几个出来,大家一起看一?. 函数的 值域取决于定?域和对应法则?求函数的值域要注意优先考虑定?域 ? 常常用用求求值值域域方方法法 ?令 令?直直接接?察察法法?利用已有的基本函数的值域?察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数?如?比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, ?值域?通过?察直接得到? 例例 令 令?求函数 1 ,1,2yx x = 的值域? 例例 以 以? 求函数 x3y= 的值域? 答案?值域是? 3 , ?同同?练练? 令 令?函数 2 2 1 x y + =的值域. ? 解? 2 1 0yx,试求yxlglg+的最大值? 最大值2lg? ?左 左? ?换换元元法法? ?角换元法?有时候?了沟通已知?未知的联系?们常常引进一个?几个?新的?来 ?替原来的?实行这种?变?换?暴露已知?未知之间被表面形式掩盖着的实质?发现解题 方向?这就是换元法?在求值域时?们?通过换元将所给函数?值域容易确定的另一函数?而求 得原函数的值域? 例例 令 令?求( )1f xxx=+的值域? 解?10xt= ?则 2 1(0)xtt= ? 2 22 155 ( )(1)1 244 f xftttt = + =+ ? 所?函数值域? 5 ? 巧 ? 评评注注?利用引入的新变?t?使原函数消去了根号?转?了关于t的一元二次函数?使?题得?解决?用 换元法求函数值域时?必须确定新变?的取值范围?它是新函数的定?域? 小小结结? ?同同?练练? 左 左?求函数xxy21=的值域? 解?由021x?得 2 1 x?()021=ttx 得 2 1 2 t x =?于是()11 2 1 2 1 2 2 += =tt t y?因?0t?所? 2 1 y?故所求函数值域?与- ?令 以 成? 例例 以 以?求函数 22 1xxxy+=的值域? 解?设 = 2 sin x?则 () +=+=+= 4 2sin 2 2 2 1 2cos1 2 1 2sin 2 1 sincossin 2 y? 所? 2 21 2 21+ y?故所求函数值域? + 2 21 2 21 ，? ?同同?练练? 巧 巧?求函数 2 x54xy+= 的值域? 解?由 0x5 2 ?得 5|x| 故? , 0,cos5x= 4) 4 sin(10sin54cos5y+ +=+= ? 0 4 5 44 + 当 4/= 时? 104ymax+= 当 = 时? 54ymin= 故所求函数的值域? 104 ,54+ 小小结结? ?同同?练练? 5 5? 令 令?求函数xxy21+=的值域. ? 以 以?求函数 2 ) 1x(12xy+= 的值域? 解?因 0) 1x(1 2 + 即 1) 1x( 2 + 故? , 0,cos1x=+ ? 1cossincos11cosy 2 +=+= 1) 4 sin(2+ += ? + 4 5 4 0 ,0 211) 4 sin(20 1) 4 sin( 2 2 + + + 故所求函数的值域? 21 , 0+ 左 左?已知函数)(xf的值域? 9 5 , 8 3 ?求函数)(21)(xfxfy+=的值域. ? ?巧 巧?函函数数有有界界性性法法?方方程程法法? 直接求函数的值域困难时?利用已学过函数的有界性?来确定函数的值域? ?们所说的单调性?最常用的就是?角函数的单调性? 例例 1?求函数 3sin 3sin + = x x y的值域? 解?因?03sin+x?所?3sin3sin=+xyxy?则 () y y x + = 1 13 sin 由于1sinx?所? () 1 1 13 + y y ?解得 2 1 2y?故所函数的值域?与-以?-令 以 成? 求函数 1 1 2 2 + = x x y 的值域 110 1 1 2 + + = + = =+ + = + + += += + + + + ?5 5?数数形形结结合合法法?函数的图?对于一些函数?如二次函数?段函数等?的求值域?题?们? ?借?形象直?的函数图象来?察?函数值的变?情况?再有的放矢地通过函数解析式求函数最值?确定 函数值域?用数形结合法?使?算过程大大简? ?题型是函数解析式?有明显的某种几何意?如两点的距离公式直线斜率等等?这类题目若?用数形结 合法?会更加简单?一目了然?赏心悦目? 例例令 令? 求函数 2 2 23 ( 20) ( ) 23 (03) xxx f x xxx += 故所求函数的值域? ,10+ 例例 左 左?求函数 5x4x13x6xy 22 += 的值域. 解?原函数?变形? 2222 ) 10()2x()20()3x(y+= ?式?看? x 轴?的点 )0 , x(P 到两定点 ) 1, 2(B),2 , 3(A 的距离之和? 由图?知当点 P ?线段? x 轴的交点时? 43) 12()23(|AB|y 22 min =+= ? 故所求函数的值域? ,43+ 例例 巧 巧?求函数 5x4x13x6xy 22 += 的值域. 解?将函数变形? 2222 ) 10()2x()20()3x(y+= ?式?看?定点 致?左?以?到点 P?x?代?的距离?定点 ) 1 , 2(B 到点 )0 , x(P 的距离之差? 即? |BP|AP|y= 由图?知? ?令?当点 P 在 x 轴?且?是直线 致B ? x 轴的交点时?如点 ' P?则构?'ABP ?根据?角形两 边之差小于第?边?有 26) 12()23(|AB| 'BP| 'AP| 22 =+= + + =x x xx y的值域 解?原函数? ) 1(2 1 1 1 1 1) 1( 2 + += + + =x x x x x yQ 当且仅当0=x时取等号?故值域?)+,2 例例左 左? 求函数 4) xcos 1 x(cos) xsin 1 x(siny 22 += 的值域. 解?原函数变形? 5 2xcotxtan3 xcotxtan3 xsecxces1 xcos 1 xsin 1 )xcosx(siny 223 22 22 22 22 = + += += += 当且仅当 xcotxtan= 即当 4 kx ±= 时 )zk( ?等号?立 故原函数的值域? ), 5 + ?7 7? ?根根判判别别式式法法?对于形如 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc + = + ? 1 a? 2 a?同时?0?的函数常采用?法?就是把函数 转?关于x的一元二次方程?二次项系数?0时? ?通过方程有实数根?而根的判别式大于等于零? 求得原函数的值域? 对二次函数或者?式函数?子或?母中有一个是二次?都?通用?但这类题型有时?用?他方法进 行?简 如闭 . 1 1 2 以 以 以 以 以 以 以以 b a y型?直接用?等式性质 k+x bx b. y型,先?简?再用均值?等式 xmxn x令 例?y 令+x x+ x xm xn 化 y型 通常用判别式 xmxn xmxn 北. y型 xn 法一?用判别式 法二?用换元法?把?母替换掉 xx令 ?x+令? ?x+令? +令 令 例?y?x+令?令以令令 x令x令x令 = = + = + = + + = + + =+ = + 例例 令 令?求函数 2 2 1 1 xx y x + = + 的值域? 解解?原函数?关于x的一元二次方程 2 (1)10yxxy+ =? ?令?当1y时?xR? 2 ( 1)4(1)(1)0yy = ?解得 13 22 y? ?以?当1y=时?0x=?而 1 3 1 2 2 ? 故函数的值域? 1 3 2 2 ? 评评注注?在解?类题的过程中要注意讨论二次项系数是?零?使用?法须在xR或仅有个别值?个 别值是指使?母?0的值?处理方法?将它们?入方程求出相应的y值?若在求出的值域中则应除去?y 值?能取的情况?则?能使用?如求函数 2 2 1 1 xx y x + = + ?(2 3)x?的值域?则?能使用?方法? 例例 以 以?求函数 )x2(xxy+= 的值域. 解?两边?方整理得? 0yx) 1y(2x2 22 =+ ?令? ? Rx ? 0y8) 1y(4 2 += 解得? 21y21+ 但?时的函数的定?域由 0)x2(x ?得 2x0 由 0 ? 仅保证关于 x 的方程? 0yx) 1y(2x2 22 =+ 在实数集 R 有实根? 而?能确保?实根在区间与代? 以成?即?能确保方程?令?有实根?由 0 求出的范围?能比 y 的实?范围大?故?能确定?函数的 值域? 2 3 , 2 1 ? ?采取如?方法进一?确定原函数的值域? ? 2x0 0)x2(xxy+= 21y, 0ymin+= ?入方程?令? 解得? 2 , 0 2 2222 x 4 1 + = 即当 2 2222 x 4 1 + = 时? 原函数的值域? 21 , 0+ 注?由判别式法来判断函数的值域时?若原函数的定?域?是实数集时?应综合函数的定?域?将扩大的 部?剔除? ?同同?练练? 8 8? 令 令?求函数 2 2 585 1 xx y x + = + 的值域. 以 以?求函数 22 1 2 + + = xx x y的值域. 左 左?函数 2 2 8 1 3 ( )log axxb x f x + + =的定?域?(,) +?值域?0,2?求,a b的值. 巧 巧?设函数 ( ) 2 2 axb yf x x + = + 的值域? 51,?求a,b . 5 5?已知函数y称f(x)称 ()0 1 2 2 2 ?11 x 2 + ? 1 1 21 x 0 ? ?9? 1 sin 2cos x y x = 解解? ?令?法一?公式法?略? 法二? ?配方法? 22 12323 323() 61212 yxxx=+=+Q? ? 2 32yxx=+的值域? 23 ,) 12 +? ?拓拓展展?求函数 2 32yxx=+?1,3x的值域? 解? ?利用函数的单调性?函数 2 32yxx=+在1,3x?单调增? ?当1x =时?原函数有最小值?4?当3x =时?原函数有最大值?26? ?函数 2 32yxx=+?1,3x的值域?4,26? ?以?求复合函数的值域?设 2 65xxµ= ?0µ? ?则原