实数完备性基本定理的相互证明(30个)
16页1、 实数完备性基本定理的相互证明实数完备性基本定理的相互证明(3030 个)个) 摘要:摘要:这这 6 个定理虽然出发的角度不同,但描写的都是实数连续性这同一件事,它们之间是相互个定理虽然出发的角度不同,但描写的都是实数连续性这同一件事,它们之间是相互 等价的,即任取其中两个定理,它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明,等价的,即任取其中两个定理,它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明, 虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分, 有的用的是类似的证明方法, 有的出发点与站的角度不同,虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分, 有的用的是类似的证明方法, 有的出发点与站的角度不同, 但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理,也可能有不同的方法。即使方法相同,还可以有不同的但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理,也可能有不同的方法。即使方法相同,还可以有不同的 细节。作为工具,它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。细节。作为工具,它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。 1 确界原理确界原理非空有上(下)界数集,必有上
2、(下)确界。 2 单调有界原理单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。 3 区 间 套 定 理区 间 套 定 理 若, nn ba是 一 个 区 间 套 , 则 存 在 唯 一 一 点, 使 得 , 2 , 1,nba nn 。 4 Heine-Borel 有限覆盖定理有限覆盖定理 设,ba是一个闭区间,为,ba上的一个开覆盖,则在 中存在有限个开区间,它构成,ba上的一个覆盖。 5 Weierstrass 聚点聚点定理定理(Bolzano 致密性定理致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。 ) 直线上的有 解无限点集至少有一个聚点。 6 Cauchy 收敛准则收敛准则数列 n a收敛对任给的正数,总存在某一个自然数N,使得 Nnm ,时,都有| nm aa。 一一. .确界原理确界原理 1.1.确界原理确界原理证明单调有界定理单调有界定理 证 不妨设 an为有上界的递增数列.由确界原理,数列 an 有上确界,记 a = sup an.下面证明a 就是 an 的极限. 事实上,任给 0, 按上确界的定 义,存在数列 an 中某一项aN ,使得a - aN .又由 an的递增性,当n N 时
3、有a - No 时有| | ,亦即当nNo时| | | |+1即 有界。 不妨设 ,我们可用如下方法取得 的一个单调子列 (1)取 使a, 或 ,b中含有无穷多的 的项 (2)在a, 或 ,b中取得 且满足条件(1)并使 ,然后就有 不断地进行(1),(2)得到一单调递增的子列 因为 ,而 是一个单调有界数列,由单调有界定理知 收敛, 设 | | (1) 下证 收敛于a 因为 =a 则对 0正整数K,当kK时,| |另一方面由于 是柯西列,所以 存在正整数N,当 , 时有| |max( )时| | | |+| |1, ,使 k r 1 No 时有| | ,亦即当nNo时| | | |+1即 有界。 即存在闭区间,ba使得,baxn。 则, ,(, )x ab Ux使得),(xU中只含有 n x中的有限多项(否则,若),(, 0xU都有 n x中的无限多项,则易证 n x收敛, 这与假设矛盾)。 从而得,ba的一个开覆盖,),(:baxxU 由 HeineBorel 有限覆盖定理知,存在的一个有限子覆盖 1 , 2 , 1,),(:kibaxxU iii 。 所以 1 只含有 n x中的
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