实数完备性基本定理的相互证明(30个)

实数完备性基本定理的相互证明实数完备性基本定理的相互证明（3030 个）个） 摘要：摘要：这这 6 个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互 等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明， 虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分， 有的用的是类似的证明方法， 有的出发点与站的角度不同，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分， 有的用的是类似的证明方法， 有的出发点与站的角度不同， 但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的 细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。 1 确界原理确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。 2 单调有界原理单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。 3 区 间 套 定 理区 间 套 定 理 若, nn ba是 一 个 区 间 套 , 则 存 在 唯 一 一 点， 使 得 , 2 , 1,nba nn 。 4 Heine-Borel 有限覆盖定理有限覆盖定理 设,ba是一个闭区间，为,ba上的一个开覆盖，则在 中存在有限个开区间，它构成,ba上的一个覆盖。 5 Weierstrass 聚点聚点定理定理（Bolzano 致密性定理致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。 ） 直线上的有 解无限点集至少有一个聚点。 6 Cauchy 收敛准则收敛准则数列 n a收敛对任给的正数，总存在某一个自然数N，使得 Nnm ,时，都有| nm aa。 一一. .确界原理确界原理 1.1.确界原理确界原理证明单调有界定理单调有界定理 证 不妨设 an为有上界的递增数列.由确界原理,数列 an 有上确界,记 a = sup an.下面证明a 就是 an 的极限. 事实上,任给 0, 按上确界的定 义,存在数列 an 中某一项aN ,使得a - aN .又由 an的递增性,当n N 时有a - No 时有| | ，亦即当nNo时| | | |+1即 有界。 不妨设 ，我们可用如下方法取得 的一个单调子列 (1)取 使a， 或 ，b中含有无穷多的 的项 (2)在a， 或 ，b中取得 且满足条件(1)并使 ，然后就有 不断地进行（1），（2）得到一单调递增的子列 因为 ，而 是一个单调有界数列，由单调有界定理知 收敛， 设 | | (1) 下证 收敛于a 因为 =a 则对 0正整数K，当kK时，| |另一方面由于 是柯西列，所以 存在正整数N，当 ， 时有| |max( )时| | | |+| |1， ，使 k r 1 No 时有| | ，亦即当nNo时| | | |+1即 有界。 即存在闭区间,ba使得,baxn。 则, ,(, )x ab Ux使得),(xU中只含有 n x中的有限多项(否则，若),(, 0xU都有 n x中的无限多项，则易证 n x收敛， 这与假设矛盾)。 从而得,ba的一个开覆盖,),(:baxxU 由 HeineBorel 有限覆盖定理知，存在的一个有限子覆盖 1 , 2 , 1,),(:kibaxxU iii 。 所以 1 只含有 n x中的有限多个点，这显然与)( 1 ,ba n x是矛盾的, 假设错误, 因此 n x必收敛。 五五. .聚点定理聚点定理 21.21.聚点定理聚点定理证明确界原理确界原理 证证 设S是一个有上界数集，则bR 使得xS 有xb，取aS构造区 间,ba。定义性质:P 区间中至少有一个数属于S且区间的右端点为S的一个上界。 利用二等分法容易构造出满足性质P的区间套, nn ba 定义性质 P： 不能用中有限个开区间覆盖。 (1) 将 , a b等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为 11 ,a b，则 11 , , a ba b; (2) 将 11 ,a b等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为 22 ,a b，则 2211 ,a ba b; n) 将 11 , nn ab 等分为两个子区间，则至少有一个具有性质 P，不妨记该区间为 , nn a b，则 11 , nnnn a bab ; 由此可得一个区间套, nn a b且满足0 2 nn n ba ba (1) 显然,babn且单调递减有下界。 我们证明)( ,nbR n 。 事实上， 不妨设 n b有无穷个数，由聚点原理知 n b有聚点。 因此, 00N，使得),(UbN且 N b。由于 n b单调递减，则易证 nN 有 ),(Ubn。 由于 n b都为 S 的 上界， ( , )U )所以也为S的上界。由(1) 易证 )( ,nan。 故, 0 11 , 0NnN有),(Uan。 从 而 可 知 ， 1, ,nNNxS ),(,Ubax nn 。即x 故为S的上确界。 22.22.聚点定理聚点定理证明单调有界定理单调有界定理 证证 不妨设 n x是单调有上界无穷数列，即, a bR，使得,baxn。故由聚 点原理可知,R为 n x的聚点，即),(, 0U含有 n x中的无限多项。由单 调性易得知),(U外最多有 n x中的有限项，因此又极限的一种等价定义得： 23.23.聚点定理聚点定理证明区间套定理区间套定理 即若，是一闭区间套，则存在唯一属于所有的闭区间， ， 证：设则是有界无限点集由聚点定 理得数集聚点若存在一个，使 （，） 再取 （），由的单调性，当 时， 这样， （ ， ） 内至多有 中的有限多个点这与是聚点矛盾， 于是得到（ ，） 同理可证，（ ，）因此，有， 唯一性 最后证明满足是唯一的.设数也满足 an bn, n = 1,2, （1） 因为 an bn, n = 1,2, （2） 则由（1）(2)式有 | - | bn - an, n = 1,2,. 由区间套的条件得 | | ( ) 故有= .唯一性即证。 24.24.聚点定理聚点定理证明有限覆盖定理有限覆盖定理 即闭区间，的任一开覆盖 都有有限的子覆盖 证 找一个使它具有与性质 相反的性质 的数集； 为此我们先证明，有开区间（，），使 （，）（，）.否则,，对任意的（，） ，都有（，）（，）,，对任 意的（，），都有（ ， ）（，）,如此继续得一数列 ， ，对任意的（，），都有 （ ， ） （，） 显然数集是有界无限点集； 由聚点定理，数列有聚点； 由，得，,故存在一个开区间（，），使 （，）令，则存在自然数， 使 ， ( ， ) 从而，( ， )（，）矛盾 现在，我们取 +1 , （）， 设（，）（，），则 （，） （，） ， 因此所需结论成立 25.25.聚点定理聚点定理证明CauchyCauchy收敛准则收敛准则 证明：设是一Cauchy列，则知是有界的若中只有有限多个项不相 同，那么必有一项譬如出现无限多次，这时就得到的一个收敛子列。 又因为是列，故对，存在自然数，当 时 特别地，当 ， 时由于 ，从而 ， 令 ，得即 若中有无限多项互不相同，则数集 是一有界无限点集,根据聚点定理， 至少有一聚点，由聚点的定义，对任意的自然数，在（， ）中，必含有 的无限多项，从而在（， ）中可选出一项 且 ，由于 的任意性，所 以 同上可知， 六六.Cauchy.Cauchy收敛准则收敛准则 26.26. CauchyCauchy收敛准则收敛准则证明确界原理确界原理 证: 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整 数K,使得 = k为S 的上界,而 - = ( k - 1)不是S 的上界, 即存在 S,使得 ( k - 1). 分别取= , n = 1,2,则对每一个正整数n,存在相应的 n,使得n为S 的上界,而 n 不是S 的上界,故存在a S,使得a n 又对正整数m ,m 是S 的上界,故有m a.结合(6)式得n - m 0,存在N 0,使得当m , n N 时有 | m - n | 0,由 0 ( n)及 (1)式,对充分大的n 同时有 - . 又因n - 不是S 的上界,故存在a S,使得a n - .结合上式得a - =- . 这说明为S 的上确界. 同理可证:若S 为非空有下界数集,则必存在下确界. 27.27. CauchyCauchy收敛准则收敛准则证明单调有界定理单调有界定理 证证 不妨设 n x为单增有上界数列。假设 n x无极限，Cauchy 收敛准则可知， , 0, 0 0 NnmN 但是 0 mn xx。由N的任意性，不难得到 n x的一 个严格单增的子列 k n x，满足 111 000 2 kkk nnnn xxxxk 。 由于 0 0,0k， 所以当k 时，有 1k n x 。 这与 n x为有界数列 矛盾， 故 n x收敛 28.28. CauchyCauchy收敛准则收敛准则证明区间套定理区间套定理 证证 设, nn ba是 Cantor 区间套。则由nab nn (