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弹性力学与有限元教学课件第3.2章空间问题的解答

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常见问题

1、概述第一节空间球对称问题的基本方程第二节空间轴对称问题第三节半空间体在边界上受法向集中力例题,3.2 空间问题的解答,空间问题,对于空间问题，一共有15个未知函数，它们是6个形变分量，6个应力分量，3个位移分量。而我们也有15个基本方程，它们是6个几何方程，6个物理方程，3个平衡方程。此外，求出的解还必须满足位移边界条件以及应力边界条件。,空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。,在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数。,球对称问题,轴对称问题,第一节空间球对称问题的基本方程,取图示的微元体，由于对称，各面上不存在切应力和切向体力。根据径向平衡条件

2、，可得平衡方程：,d微小，sin可用d代替，简化上式，得,径向正应变,d,由于对称，只可能发生径向位移，不可能得到切向位移，由此得到根据应力应变的关系，将应力用应变表示:,切向正应变,代入平衡方程得基本微分方程,不计体力时，上述方程简化为,第一节空间球对称问题的基本方程,空心圆球受均布压力,空心圆球内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，基本微分方程为,其解为,得应力分量,边界条件是,根据此边界条件，可求得系数A, B，得到位移解和应力解,空心圆球受均布压力,第二节空间轴对称问题,由于对称性，,Fbz, Fb为体力分量,从轴对称物体中取出图示的单元体。,并且环向体力分量为零。,第二节空间轴对称问题,化简后得到,根据方向的平衡，可得,第二节空间轴对称问题,根据z方向的平衡，可得,化简后得到,这里的物理方程是,这样，空间轴对称问题的平衡方程为,由于对称，各点环向位移为零，由径向位移产生的应变为,由轴向位移w产生的应变为,迭加得到几何方程,第二节空间轴对称问题,应力用应变表示为,上式应变分量用位移分量表示，,第二节空间轴对称问题,第二节空间轴对称问题,将应力分

3、量代入平衡方程，得到位移形式的平衡方程，这就是轴对称问题的基本方程：,在体力为零时，简化为,其中,位移法求解轴对称问题，就是寻求满足上述方程组，并且根据他们求出的应力和位移满足边界条件的位移分量。上述方程组的直接求解比平面问题更为困难，通常采用的是位移函数法。其方法和应力函数法类似，先假设某种形式的位移函数，代入上述方程组，得到他们应满足的条件。,代入（*）式，得,也就是说位移函数应为重调和函数。,（*）,第二节空间轴对称问题,如假设,我们也可以假设位移是有势的，也就是说，位移分量可以用位移势函数表示为,这时有,代入（*）式，得,可以取C = 0，这时应力函数调和函数,第二节空间轴对称问题,第三节半空间体在边界上受法向集中力,半空间体，体力不计，坐标系如图。通过量纲分析，位移函数应是F乘以R、z、等长度坐标的正一次幂，试算后，取设位移函数为,根据位移分量和应力分量与位移函数的关系：,第三节半空间体在边界上受法向集中力,可以求得位移分量和应力分量：,边界条件是,根据圣维南原理，有,(a) (b),第三节半空间体在边界上受法向集中力,为此，我们再取一个位移势函数，它在z=0处，z

4、=0而切应力与式(c)的切应力相抵消。通过量纲分析，位移函数应是R、z、等长度坐标的零次幂，试算后，取,上述应力解，式（a)是满足的，式(b),(c),不能满足。,这时得到位移和应力分量为,它在z=0处，z=0，而切应力,第三节半空间体在边界上受法向集中力,迭加上面两个解,得到：,将应力表达式代入,第三节半空间体在边界上受法向集中力,代入以上两个位移和应力表达式中并迭加，得到满足一切条件的布希列斯克解答(位移函数的假设是不唯一的):,可求得:,不同的问题的位移函数不同，找到适当的位移函数是不容易的事，为此，前辈力学家作了长期的努力，得到了一些问题的解。,例题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,提示:,位移法求解空间问题的方程为：,由于对称，假设,化简后，积分以后得：,提示:（续）将(2)代入，可见中的前二式自然满足，而第三式成为,上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。,例题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,例题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,提示:（续）将(5)代入弹性方程(6)得：,例题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,在本问题的边界上:,应力边界条件为:,前二式自然满足，而第三式要求:,例题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,提示:（续）,求得应力分量：,得:,为了决定常数B，利用给定的位移条件:,得铅直位移:,

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