弹性力学与有限元教学课件第3.2章 空间问题的解答

概述 第一节 空间球对称问题的基本方程 第二节 空间轴对称问题 第三节 半空间体在边界上受法向集中力例 题,3.2 空间问题的解答,空间问题,对于空间问题，一共有15个未知函数，它们是6个形变分量，6个应力分量，3个位移分量。而我们也有15个基本方程，它们是6个几何方程，6个物理方程，3个平衡方程。此外，求出的解还必须满足位移边界条件以及应力边界条件。,空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。,在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数。,球对称问题,轴对称问题,第一节 空间球对称问题的基本方程,取图示的微元体，由于对称，各面上不存在切应力和切向体力。根据径向平衡条件，可得平衡方程：,d微小，sin可用d代替，简化上式，得,径向正应变,d,由于对称，只可能发生径向位移，不可能得到切向位移，由此得到根据应力应变的关系，将应力用应变表示:,切向正应变,代入平衡方程得基本微分方程,不计体力时，上述方程简化为,第一节 空间球对称问题的基本方程,空心圆球受均布压力,空心圆球内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，基本微分方程为,其解为,得应力分量,边界条件是,根据此边界条件，可求得系数A, B，得到位移解和应力解,空心圆球受均布压力,第二节 空间轴对称问题,由于对称性，,Fbz, Fb为体力分量,从轴对称物体中取出图示的单元体。,并且环向体力分量为零。,第二节 空间轴对称问题,化简后得到,根据方向的平衡，可得,第二节 空间轴对称问题,根据z方向的平衡，可得,化简后得到,这里的物理方程是,这样，空间轴对称问题的平衡方程为,由于对称，各点环向位移为零，由径向位移产生的应变为,由轴向位移w产生的应变为,迭加得到几何方程,第二节 空间轴对称问题,应力用应变表示为,上式应变分量用位移分量表示，,第二节 空间轴对称问题,第二节 空间轴对称问题,将应力分量代入平衡方程，得到位移形式的平衡方程，这就是轴对称问题的基本方程：,在体力为零时，简化为,其中,位移法求解轴对称问题，就是寻求满足上述方程组，并且根据他们求出的应力和位移满足边界条件的位移分量。上述方程组的直接求解比平面问题更为困难，通常采用的是位移函数法。其方法和应力函数法类似，先假设某种形式的位移函数，代入上述方程组，得到他们应满足的条件。,代入（*）式，得,也就是说位移函数应为重调和函数。,（*）,第二节 空间轴对称问题,如假设,我们也可以假设位移是有势的，也就是说，位移分量可以用位移势函数表示为,这时有,代入（*）式，得,可以取C = 0，这时应力函数调和函数,第二节 空间轴对称问题,第三节 半空间体在边界上受法向集中力,半空间体，体力不计，坐标系如图。通过量纲分析，位移函数应是F乘以R、z、等长度坐标的正一次幂，试算后，取设位移函数为,根据位移分量和应力分量与位移函数的关系：,第三节 半空间体在边界上受法向集中力,可以求得位移分量和应力分量：,边界条件是,根据圣维南原理，有,(a) (b),第三节 半空间体在边界上受法向集中力,为此，我们再取一个位移势函数，它在z=0处，z=0而切应力与式(c)的切应力相抵消。通过量纲分析，位移函数应是R、z、等长度坐标的零次幂，试算后，取,上述应力解，式（a)是满足的，式(b),(c),不能满足。,这时得到位移和应力分量为,它在z=0处，z=0，而切应力,第三节 半空间体在边界上受法向集中力,迭加上面两个解,得到：,将应力表达式代入,第三节 半空间体在边界上受法向集中力,代入以上两个位移和应力表达式中并迭加，得到满足一切条件的布希列斯克解答(位移函数的假设是不唯一的):,可求得:,不同的问题的位移函数不同，找到适当的位移函数是不容易的事，为此，前辈力学家作了长期的努力，得到了一些问题的解。,例 题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,提示:,位移法求解空间问题的方程为：,由于对称，假设,化简后，积分以后得：,提示:（续） 将(2)代入，可见中的前二式自然满足，而第三式成为,上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。,例 题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,例 题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,提示:（续）将(5)代入弹性方程(6)得：,例 题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,在本问题的边界上:,应力边界条件为:,前二式自然满足，而第三式要求:,例 题,设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。,提示:（续）,求得应力分量：,得:,为了决定常数B，利用给定的位移条件:,得铅直位移:,