高数下册总复习
62页1、期末考试复习重点,(1)直线与平面的位置关系,空间曲线的切线,空间曲面的 切平面,(2)函数的定义域、极限和连续(连续的定义)、方向导数、 复合函数求导(高阶)、隐函数的求导与全微分、条件极值,(3)二重积分的计算(直角坐标与极坐标),(4)第一、二类曲线积分,积分与路径无关 第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。,(5)数项级数收敛性判别,绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛域、求级数求和函数。,(一)直线与平面的位置关系,空间曲线的切线, 空间曲面的切平面,(1)设,则,(2)曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线,要点:I:曲面在某点处的切平面,(1)设曲面方程为,第一步:计算,第二步:计算曲面的法向量,第三步:分别写出切平面和法线的方程,(2)设曲面方程为,第一步:取,第二步:计算曲面的法向量,第三步:利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程,要点II:空间曲线的切线与法平面,(1)设空间曲线 的方程,第一步:确定点,第二步:计算,第三步:利用对称式和点法式分别写出切线和法 平面的方程,(2)设空间曲线 的方程,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程
2、,3、典型例题,例2:设直线 L 和平面 的方程分别为,则必有( ),解:,C,例3:求曲面,上同时垂直于平面,与平面,解:取,的切平面方程。,设切点为,(二)多元函数的定义域、极限和连续;方向导数 ,复合函数求导(高阶),隐函数的求导和全微分、 条件极值,(1)多元函数在某点的定义域、极限和连续,要点:I:求二元函数在某点的极限,1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则,2、利用有界函数与无穷小乘积的性质,3、利用变量对换化为一元函数极限,4、利用夹逼准则与两个重要极限,例:求下列函数的极限:,解:,求极限,解:,求极限,(1)多元函数的定义域、极限、连续,要点:I:求二元函数在某点的极限,(二)多元函数的定义域、极限和连续;方向导数 ,复合函数求导(高阶),隐函数的求导和全微分、 条件极值,(1)多元函数的定义域、在某点的极限、连续,要点:II:用定义求二元函数在某点的偏导数,(二)多元函数的定义域、极限和连续;方向导数 ,复合函数求导(高阶),隐函数的求导和全微分、 条件极值,典型例题,例1:设,求,解:,典型例题,例2:设,求,解:,典型例题,例3:设,求,解:,二元函
3、数的连续性,要点:III:多元函数的连续性,(2) 讨论函数,在(0,0)的连续性,例: 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化,,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,(2)方向导数、复合函数求导(高阶)、 隐函数的求导、多元函数的微分,要点:I、方向导数 II :二元抽象函数的二阶偏导数的计算;,III :隐函数的偏导数的计算;,例1:设,答案:,IV :多元函数全微分的计算;,例:(1)函数 在点 处沿哪个方向,的方向导数最大?并求方向导数的最大值.,例1:设,例3:设,求,例3:设,求,解:,z,x,y,u,x,y,u,例4:设,答案:,要点:I、方向导数 II :二元抽象函数的二阶偏导数的计算;,III :隐函数的偏导数的计算;,IV :多元函数全微分的计算;,(2)方向导数、复合函数求导(高阶)、 隐函数的求导、多元函数的微分,例3:设,是由方程,解:两边取全微分,所确定的二元函数,求,整理并解得,例3:设,是由方程,解:两边取全微分,所确定的二元函数,求,整理并解得,拉格朗日乘数法:,(1)构造拉格朗日函数:,(2)联解方程组,求出问题 1 的所有
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