线性二次型指标的最优控制

1、1*第8章 线性二次型指标的最优控制8.3 线性定常系统的状态 调节器问题8.4 输出调节器问题李芳燕 罗婧 李一飞 李东芳 安海潮8.3 线性定常系统的状态调节器问题问题引入1举例说明3定理内容及说明2Beihang University对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方 程和性能指标是定常的，即矩阵A,B,Q,R均为常数矩阵时， 其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于 黎卡提方程的解K(t)是时变的缘故。Beihang University由例8-1的结结果，从结结果图图中受到启发发，当终终端时间时间 tf 趋趋于无穷时穷时 ，K(t)将趋趋于某常数，即K(t)可视为视为 恒值值。tf =10时时黎卡提矩阵阵微分方程的解K(t)Beihang UniversityK(t)将趋趋于某常数，即K(t)可视为视为 恒值值，从而得到所谓谓 无限时间时间 (tf =)状态调节态调节 器或稳态稳态 状态调节态调节 器。tf =1000时时黎卡提矩阵阵微分方程的解K(t)Beihang University对对于无限时间时间 状态调节态调节 器，通常在性能指标标中不考虑虑

2、 终终端指标标，取权阵权阵 P=0，其原因有：一是希望tf， x(tf)=0,即要求稳态误稳态误 差为为零，因而在性能指标标中不必加入 体现终现终 端指标标的终值项终值项 ；二是工程上仅仅参考系统统在有限 时间时间 内的响应应，因而tf时时的终终端指标标将失去工程意义义 。Beihang University性能指标为 ：式中，Q，R均为为常数对对称正定阵阵，u无约约束。由于P=0， 所以K(tf)=K()=P=0。从t= 开始逆时间积时间积 分黎卡提矩阵阵 微分方程，当K(t)的解存在且唯一时时，经过经过 一段时间时间 ， K(t)将达到稳态值稳态值 ，因此可认为认为 在t=0开始很长长一段时间时间 内，K(t)是黎卡提微分方程的稳态稳态 解，即有 在稳态时稳态时 ， ，从而可将黎卡提矩阵阵微分方程化为为 黎卡提代数方程，解出的K阵为阵为 常值值矩阵阵。和二次型性能指标为Beihang University可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为式中，u不受限制，Q和R为为常数对对称正定阵阵，则则使J为为极 小的最优优控制存在，且唯一，并可表示为为 式中，K为为正定常数矩阵阵，满

3、满足下列的黎卡提矩阵阵代数方 程在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的 解，即 所对应的性能指标的最小值为Beihang University对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线线性定常系统统，且要求系统统可控或至少可稳稳； 而在有限时间时间 状态调节态调节 器中则则不强调这调这 一点。因为为在 无限时间调节时间调节 器中，控制区间扩间扩 大为为无穷穷，为为了保证证 积积分值值有限，x(t)和u(t)要收敛敛到零，也就是受控系统统的 状态变态变 量必须须是渐进稳渐进稳 定的。如果系统统可控，则则通过过状态态反馈馈可任意配置闭环闭环 系统统极点，使系统渐进稳统渐进稳 定。可控的条件可减弱为为可稳稳，即只要不稳稳定的极点所 对应对应 的模态态可控，通过过反馈馈将它变为稳变为稳 定即可。对对有限时间调节时间调节 器来讲讲，因为为积积分上限tf为为有限 值值，即使系统统不可控，状态变态变 量不稳稳定，积积分指标标仍 可为为有限值值，故仍旧有最优优解。Beihang University对于以上结论，作如下几点说明：2.闭环闭环 系统统是渐进稳渐进稳 定的，即系统统矩阵阵 的特

4、征值值均具有负实负实 部，而不论论原系统统A的特征值值如何 。证证明：设设李雅普诺诺夫函数为为因K正定，故V(x)是正定的。与黎卡提代数方程 比较较得由于Q，R均为为正定矩阵阵，故 负负定，结论结论 得证证。Beihang University对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间故当tf时时，性能指标标的最优值优值 将趋趋于无穷穷大，即 这这与性能指标标的最优值优值 为为有限值值相矛盾，所以上述系统统是渐进稳渐进稳 定的。闭环最优调节系统是渐进稳定的。 证明：利用反证法来证明。假设系统上述不是渐进稳定的，则 必 具有非负实部的特征根。于是，当tf时，状态变量 X(t)不会趋于零，即 。Beihang UniversityBeihang University对于以上结论，作如下几点说明：3.Q为为正定这这个条件是保证证最优优反馈馈系统稳统稳 定而提出的 。性能指标标J取有限值值，还还不能保证证系统稳统稳 定。例如， 只要不稳稳定的状态变态变 量在性能指标标中不出现现，那么Q为为 半正定时时就可能出现这现这 种情况，所以Q必须须正定。

5、Q为为nn半正定常数矩阵阵，且 为为能观测观测 矩阵阵 。Beihang University综综上，状态调节态调节 器的设计设计 步骤骤如下： 1.根据系统统要求和工程实际经验实际经验 ，选选定加权权矩阵阵Q和R ； 2.由A,B,Q,R按 求解黎卡提 矩阵阵代数方程，求得矩阵阵K； 3.由式 求最优优控制u(t); 4.解式 求相应应的最优轨优轨 迹x(t); 5.按式 计计算性能指标标最优值优值 。Beihang University例1 设设系统统的状态态方程为为性能指标为试确定最优控制，使J最小。设ab2 0，保证证 Q为为正定。Beihang University例1解 各矩阵分别为验证系统稳定性：系统状态完全能控，且Q及R为正定对称矩阵， 故最优控制存在且唯一。Beihang University例1设 。由式 得最优控制为矩阵K满足黎卡提代数方程Beihang University例1即展开整理，可得3个代数方程为为Beihang University例1解之在保证证Q和K为为正定矩阵阵条件下，则则有最优控制为Beihang University例1最优状态调节器闭环系

6、统结构图如图所示Beihang University例1闭环系统的传递函数为闭环极点为故闭环系统是稳定的。 a2时时系统统响应为应为 衰减振荡荡；a2时时系统统不发发 生振荡荡，呈过过程阻尼响应应。Beihang University例2 调节调节 火箭的滚动滚动 姿态时态时 ，用液态态副翼使滚动滚动 姿态态角 尽可能小，同时时使副翼偏转转角及偏转转率 保持在物理 限度内。系统统状态态方程为为其中， 是滚动时间滚动时间 常数； 是滚动滚动 角速度； 是 副翼执执行机构的指令信号；C是副翼效率。使性能指标标取极小，其中 均为为它们们的最大要求值值。求最优优反馈馈控制u(t)。满满足黎卡提方程，且K0。由于对对称性，独立的6个 代数方程组经过组经过 消元并选选取 ，有解Beihang University例2解 由题知其中Beihang University例2其中， 满足四次方程Beihang University例2若设则四次方程为其两正实根是 及 ，且后者破坏K0 ，故取 。从而反馈控制Beihang University例2Beihang University例2288.3 线性定

7、常系统的状态调节器问题参考书目：巨永锋锋，李登峰，最优优控制，重庆庆大学出版社，2005. 李国勇等，最优优控制理论论与应应用，国防工业业出版社 ，2008. 李国勇等，最优优控制理论论及参数优优化，国防工业业出版社，2006. 王朝珠，秦化淑，最优优控制理论论，科学出版社， 2003. 程兆林，马树马树 萍，线线性系统统理论论，科学出版社， 2006. 史忠科，线线性系统统理论论，科学出版社，2008.298.3 线性定常系统的状态调节器问题谢谢 ！308.3 线性定常系统的状态调节器问题王朝珠，秦化淑，最优优 控制理论论，科学出版社， 2003.318.4 输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题1举例3线性时不变系统输出调节器问题2Beihang University 设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下 以及性能指标 要求确其中，P 和Q(t)是半正定矩阵，R(t)是正定矩阵，tf 是有限的终端时刻，控制函数u(t)不受约束。确定最优调 节作用u*(t),使性能指标达到最小值。这类最优控制问题， 称为输出调节器问题。其实质是用不大的控制能量，使输 出变量y(t)保

8、持在零值附近。 y(t)=C(t)x(t) Beihang University将输出方程 代入性能指标得到状态调节器的 性能指标函数Beihang University在状态调节器的性能指标中，要求P和Q(t)为半正 定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性 能指标中 和 也 是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器 问题来阐述。即：对于系统和性能指标Beihang University最优控制存在且唯一K(t)为下列Riccati矩阵微分方程的解满足边界条件最优轨线是下列线性微分方程的解Beihang University结论： 最优输出调节器的最优控制函数，并不是输出量y(t)的 线性函数，而仍然是状态向量x(t)的线性函数，表明构成 最优控制系统，需要全部状态信息反馈，因此要求系统 可观测，即有限时间输出调节器的最优解与有限时间状态调节器的 最优解，具有相同的最优控制与最优性能指标表达式， 仅在Riccati方程及其边界条件的形式上有微小的差别。Beihang University前面所讨论的是终端时刻tf为有限值的情况。如果系统是 线性时不变系统，即当tf =时时其输输出调节调节 器问题问题 可以参照tf =的状态调节态调节 器问题问题 ，得到相应应的控制规规律。但是，同时要求系统同时要求系统( (A,B,CA,B,C) )是完全可控和完全可观测的。是完全可控和完全可观测的。即即完全 可观完全 可控其性能指标为u(t)不受约束，Q和R是正定常数矩阵，则最优控制存在 且唯一，并且由下式确定K满足Ricatti矩阵代数方程Beihang UniversityK()=P=0最优状态满足特征值具有 负的实部Beihang University例 设系统状态空间表达式为： 性能指标为试构造输出调节器，使性能指标最小。Beihang University解：因为系统完全能控和能观。故最优控制 存在。Beihang

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