南开代数拓扑讲义--王向军
33页1、代数几何王向军南开16届暑期学校2010年8月10-19摘摘摘要要要: 本讲义是基于南开暑期学校代数拓扑的讲稿整理而得. 沿着代数拓扑的一条主线, 快速而简洁的给出了代数拓扑的一个概貌. 非常适合于那些没有接触过代数拓扑而又想了解一点代数拓扑知识的读者.本讲义前三节讲同伦论后面几节都是讲同调论, 主要涉及同伦不变性、正合序列以及切除定理, 最后还提到了 Mayer-Vietoris 序列. 主要定理的证明都是比较难的, 也不可能在短短的几节课中讲明白. 从而授课者采取给出定理陈述、简单介绍定理证明思想、着重强调定理的运用的讲授方法. 希望本讲义笔记能给更多的人带来学习代数拓扑的愉悦体验, 事实上在学习过程中, 我觉得很多基本的概念都是非常自然的. 而这一理论在现代数学中的应用, 几乎是随处可见的.主要参考书目1 周建伟, 代数拓扑讲义, 北京:科学出版社, 2007, 很好的入门教材.2 M.J. Greenberg and J.R. Harper, Algebraic topology: a first course, Benjamin/Cummings Pub. Co.,1981,
2、 学习奇异同调论.3 A. Hatcher, Algebraic topology, 清华大学出版社, 2005, 本质不容易搞清楚.4 J.R. Munkres, Elements of algebraic topology, vol. 2, Addison-Wesley Reading, MA, 1984.代数拓扑基本来说分为两个部分, 一是同伦论, 二是同调论.主要的目的是对拓扑空间进行(同胚)分类, 现在已经完成的是2维闭曲面的分类, 关于3维及其以上的闭流形的分类还不知道.拓扑分类的一个基本的问题:如何判断两个拓扑空间同胚?代数拓扑的方法是引入函函函子子子的概念, 使得拓扑空间的范畴 代数(群、环)的范畴拓扑空间 X 群 G(X)映射 f:X Y 同态 f:G(X) G(Y ).Noted by Van Abel. Email: Van Abel1例1. R1与 R2不同胚. (去掉一个点后的连通性) R2与 R3不同胚. (基本群) Rn与 Rn+1不同胚. (同调群)1同伦与基本群的概念定义1.1. 设 f,g:X Y 是两个映射1, 如果存在 F:X I = X 0,1
3、 Y , 使得对任何的 x X, 都有F(x,0) = f(x) 以及 F(x,1) = g(x). 那么称 f 与 g 同同同伦伦伦. 记为 f g, 或者 fF g. F 称为 f 到 g 的伦伦伦移移移.令 F(x,t) = Ft(x), t I. F 是随时间 t 连续变化的映射.定义1.2. 设 X,Y 是两个拓扑空间, 如果存在映射 f:X Y 以及 g:Y X , 使 fg idX, gf idY,则称 X,Y 是同同同伦伦伦等等等价价价的. 它比同胚弱.例2. 圆 S1与 R2/pt 是同伦等价的. 圆盘 D2与单点集 pt 是同伦等价的. 环形带子 X 与 S1是同伦等价的. 圆环去掉一点与两个圆的一点并(相切)是同伦等价的. So(2) S1. So(3) RP3.注记. 基本群与同调群是同伦不变的.定义1.3 (道路). 拓扑空间 X 中一条道道道路路路是指映射 :I X. 且成 (0) = x0为起起起点点点, (1) = x1为终终终点点点.注记. 拓扑空间 X 称为是道道道路路路连连连通通通的的的, 如果对 X 中任何两点都有一条道路与之相连.定义1.4 (
4、道路同伦). 设 , 是 X 中从 x0到 x1的道路, 如果存在同伦 F:I I X 使得对任意的s,t I 都有F(s,0) = (s),F(s,1) = (s),且F(0,t) x0,F(1,t) x1.那么称 , 是道道道路路路同同同伦伦伦的. 记作 Fp 或者 = rel0,1.x0x1F(s,t)注记. 若不加端点固定, 则道路连通空间中的任何两条道路都是道路同伦的.1我们说的映射, 除非特别说明, 都假定是连续的.21同伦与基本群的概念3引理1.5. 映射同伦与道路同伦都是等价关系.注记. 给定两个(拓扑)空间 X,Y , 从 X 到 Y 的同伦等价类记为X,Y = YX/ .那么代数拓扑的基本问题就是对这个对这个等价类所成空间的研究, 即同伦分类.例3.Sn,Sn = Z,Sn1,Sn =0,n = 1Z,n = 2Z/2,n 2.注记. 类似地, 我们有道路同伦等价类. 记 PX=|:I X, 连续, 它是一个拓扑空间(有所谓的紧紧紧开开开拓拓拓扑扑扑). 那么道路同伦等价类记为PX/ p=| 是 X 中的道路.定义1.6. 设 , 是 X 中的两条道路, 且 (1)
5、 = (0) = x1, 则可定义 与 的乘乘乘积积积道道道路路路为 :I X (s) =(2s),0 s 1/2,(2s 1),1/2 s 1.引理1.7. 如果 p, p且 可定义, 则 也可定义且 p .从而, 可知道路同伦等价类中定义运算 = .定理1.8. 道路同伦等价类集 PX/ p中运算满足i) 结结结合合合律律律( ) = ( ).ii) 左左左右右右单单单位位位元元元 对 x X, 记 ex为 x 点处的常值道路 ex(s) x. 则对任何一条道路 (0) = x0,(1) = x1), 有ex0 = ex1 = .iii) 逆逆逆元元元素素素 对任意的 :I X, 定义 之逆道路 1:I X, 为 1(s) = (1 s). 则ex0 = 1, 1 = ex1在 X 中选定基点 x0, 记X= :I X|(0) = x0= (1),为闭路的集合, 它也有拓扑. 又其等价类的集合记为X/ p= |:I X,(0) = (1) = x0.这样, 对任何 , X/ p, 以及 都有定义. 从而 X/ p在道路的乘积运算下构成群, 称为 X 的基基基本本本群群群. 记作 1
6、(X,x0).注记. 基本群不一定交换, 即 = 不一定成立.定理1.9. 对任何群 G, 都存在拓扑空间 X, 使得 1(X,x0) = G. 基本群又称为1维同伦群. 注意到 X为一拓扑空间, 若取定基点 ex0, 则可以继续构作2维同伦群2(X,x0) = 1(X,ex0).完全类似地, 若记 2X= X, 则可定义3维同伦群为3(X,x0) = 2(2X,C0),等等.基本群的特点设 f:X Y 是映射, 则对 X 中任何闭路 :I X, f:I Xf Y 是 Y 中的闭路, 且当 p 时, f = f.定义1.10. 对于映射 f:X Y 可导出基本群的映射 f:1(X,x0) 1(Y,y0), f() = f. 这里y0= f(x0).定理1.11. f:X Y 导出基本群的同态 f:1(X,x0) 1(Y,y0) 是群同态. 而且还满足i) 对 f:X Y , g:Y Z, 有(gf)= gf.即下列图交换1(X,x0)f/(gf)&MMMMMMMMMM1(Y,y0)g?1(Z,z0).ii) idX:X X 导出的 (idX)= id:1(X,x0) 1(X,x0).注
7、记. 基本群一定是同胚不变量, 实际上它还是同伦不变量.注记. 同伦不变的意思是指: 设 f:(X,x0) (Y,y0), g:(Y,y0) (X,x1) 满足 gf idX, fg idY,则f:1(X,x0) 1(Y,y0),以及g:1(Y,y0) 1(X,x1),都是同构.证证证明明明: 证明有些复杂, 需要讨论基点的作用.42圆的基本群及其应用52圆的基本群及其应用回忆, 基本群 1(X,x0) = |:I X,(0) = (1) = x0 它是拓扑不变量. 即, 若 f:X Y 是同胚, 则 f:1(X,x0) 1(Y,y0) 是群同构.事实上, 基本群还是同伦不变量. 设 f,g:X Y 是两个同伦映射.F 是 f 到 g 的伦移. 又设f(x0) = y0, g(x0) = y1. 对 F:X I Y , 令 (s) = F(x0,s). 则 (0) = F(x0,0) = f(x0) = y0,(1) = F(x0,1) = g(x0) = y1. 这说明 :I Y 是从 y0到 y1的一条道路.引理2.1. 若 f g, 则有如下交换图1(Y,y0) ?1(X,x0)
8、f88qqqqqqqqqqg&MMMMMMMMMM1(Y,y1).其中 :1(Y,y0) 1(Y,y1) 定义为 7 1 , 它是一个同构. 因而道路连通的拓扑空间之基本群与基点的选择无关.y1y01定理2.2. 若 f:(X,x0) (Y,y0) 是空间的同伦等价映射. g:Y X 是 f 的同同同伦伦伦逆逆逆, 即gf idX,fg idY.又设 gf(x0) = g(y0) = x1, fg(y0) = f(x1) = y1. 则有如下交换图1(X,x1) ?1(X,x0)(gf)88qqqqqqqqqqid&MMMMMMMMMM1(X,x0)1(Y,y1)?1(Y,y0)fg88qqqqqqqqqqid&MMMMMMMMMM1(Y,y0).由此可以证明基本群是同伦不变的.下面我们来考虑圆的基本群及其应用. 记 S1= z = e2it C|t R 是复平面上的单位圆. 取定基点 x0= e0= 1 .定理2.3. 1(S1,x0)= Z, 其生成元是 1,1:IS1,s7e2is.为了证明上述定理, 我们构造映射 P:R S1, 满足Px0= 1S1U0123456789R 对
9、任意 z0= e2it0 S1, 有 P1(z0) = t0 n|n Z= Z. 对于 S1上任意一段弧 U, 有 P1(U)= U Z.即 P 是保持基点不动的覆盖映射.我们还需要引理2.4 (道路提升引理). 假设 :I S1是圆上的一道路, 起点为 x0= 1. 那么存在唯一的道路1:I R 是 1(0) = 0 且 P= . 称 为 的道道道路路路提提提升升升.引理2.5 (覆盖同伦引理). 若 , 是圆上两道路同伦的道路. F:I I S1是从 到 的道路伦移. 令(0) = (0) = x0= 1. 则存在违约的同伦 F:I I R 使得 F(0,0) = 0 且 PF= F. F称为 F 的覆覆覆盖盖盖同同同伦伦伦.注记. 覆盖同伦引理蕴含着道路提升引理.我们有以下事实 (s) = F(s,0) 满足 (0) = 0, P(s) = PF(s,0) = F(s,0) = (s), 即 是 的道路提升. (s) = F(s,1) 满足 P(s) = PF(s,1) = F(s,1) = (s). 对任意的 t I, PF(0,t) = F(0,t) x0= 1. 故 F(0
10、,t) P1(x0) = Z. 因 0 I 是连通的,故 F(0,t) 0. 即 (0) 0. 同理, 若 (1) = k, 则 (1) = k.现在来证明定理.证证证明明明: 构作 :1(S1,x0) Z, 对任意的 1(S1,x0), 在 R 中有提升 :I R, (0) = 0. 有P(1) = x0= 1, 知 (1) Z. 定义() = (1) Z.若 p, 则 (1) = (1). 从而定义是良好的. 是同态. 即( ) = () + ().事实上, = (+ (1). 是满射.事实上, 对任何 n Z, 令 n:I S1为 n(s) = e2ins则 (n) = n.62圆的基本群及其应用7 是单射.若 () = () = n, 则提升 (0) = (0) = 0, (1) = (1) = n. 即是直线 R1上有相同起点、终点的道路同伦, 即 p蕴含 PpP. 即 = .例4. 单位圆盘. S1为 D2的边界圆, 则不存在这样的映射 :D2 S1使 i = idS1. 即圆不是圆盘的收缩核.i = idS1:S1i/id BBBBBBBBD2?S1.证证证明明明: 假设
11、存在, 取定基点 x0 S1, 则有i= id:Z= 1(S1,x0)i/id(RRRRRRRRRRRRR1(D2,x0)?1(S1,x0)= Z.但是, D2是同伦等价于 x0的, 即 D2 x0. 故 1(D2,x0) = 1(x0,x0) = 0. 这与上面的图交换矛盾.定理2.6 (Brouwer 不动点定理). 任何连续映射 h:D2 D2都有不动点.即存在 x0 D2使得h(x0) = x0.证证证明明明: 若有 h:D2 D2之映射, 使得对任意的 x D2都有 h(x) = x. 则令 (x) 为连接 h(x) 与 x 的射线与 S1之交点.h(x)x(x)S1D2当 x S1时, (x) = x. 即有映射 :D2 S1满足 i = id. 矛盾!注记. 利用圆的基本群还可以证明代数学基本定理. 反设无复根则可构作一同伦使圆的基本群中单位元和绕 n 圈的元一样.例5. 记 Sn为标准的 n 维球面, 取基点 e1= (1,0,.,0| z n 个). 当 n 1 时, 1(Sn,e1) = 0.e1e1U证证证明明明: 对任何映射 f:X Sn,n 1. 若 e1不在
12、 f 的像中, 则 f pCe1,Ce1为常值映射, 即Ce1(x) = e1. 若对任意的 x X, 都有 f(x) = e1. 则对任意 t I, 有(1 t) f(x) + t e1= 0,构作同伦F(x,t) =(1 t)f(x) + te1(1 t)f(x) + te1,则 F(x,0) = f(x), F(x,1) = e1.下面证明, 对任何闭路 :I S1, 只需要证明 p. 满足 e1不在 的像中. 找包含 e1的一个小开邻域 U, 使 U 同胚于 Dn. 现在, :I Sn连续, 1(U) 是 I 中的开集. 即 I 中一些小开区间(ai,bi) 的并. 只选 在 (ai,bi) 内过 e1的线段, 设为 (a1,b1),.,(an,bn), (它只有有限个, 否则它们将收敛到 e1, 不在出去).(bi)(bi)(ai)(b1)(ai)(a1)e1U把线段移到 U 的边界上, 则得 不经过 e1.这样, ppCe1.注记. 由此还可证明 R2= R3. 因 R2/pt= S1, R3/pt= S2.3Van-Kampen 定理设 G是一集簇.直积: G, 它中的元
13、素可看成映射 g: G, 7 g. 乘积 g f: 7 g f.直和: G, 它中的元素也可看作映射 g: G, g. 但它只有有限个 g不是 G中的单位元e.当 为一有限集时, 则当 G都交换时, = G; 但当 为无限集是, 即使 G都交换,与 G也不同.83VAN-KAMPEN定理9例6. 令 = N, 对任意的 n N, 定义 Gn= Z/10. 则 n=1G的元素是 (a1,a2,.,an,.); 它代表的是无理数. 而 G的元素是 (a1, a2, 0, ., 0, an, ., 0, ., 0)有限个非零; 它代表的是部分有理数(不包括循环小数).自由积:定义3.1. 设 G是一簇群, 定义 G 的自由积:G为一个群. 且1) G的单位元 e= e.2)G中的元素是任何有限长的字, 即 g1g2.gn(有限个元素之顺序写出), 其中 gi Gi.3) 乘积 (g1g2.gn)(h1h2.hm) = g1g2.gnh1h2.hm且当 gi,gi+1 G时, 且 gigi+1= g G.则g1g2.(gigi+1).gm= g1g2.(g).gm.4) g1g2.gm的逆为
14、(g1m).(g12)(g11).例7. Za= an|n Z, Zb= bn|n Z. 则 Za Zb中的元素是: an1bm1an2bm2.ankbmk. Za Zb又称为由 a,b 两个元素生成的自由群. 记作 F a,b.例8. 设 是一个下标集,对任何的 , 记Z= n|n Z为由 生成的自由 Abel 群.Z称为由 生成的自由群, 记作 F .思考. 生成的自由 Abel 群应该是直和?引理3.2. 设 为一个下标集, G 是一个群. 则任何集合的映射 f: G 都可以唯一的扩充成一个群的同态f:F G.证证证明明明:f(n11.nmm) = f(1)n1 . f(m)nm.自由群的作用定理3.3. 任何一个群 G 都是某个自由群的商群. 进而任何一个群都可由一个基本群来实现.证证证明明明: 令G 为 G 中所有元素所成的集合. FG是自由群.f:G Ga7 a,是一个集合映射. 它可扩充成群同态f:FG G, 且是满射. 从而G= FG/kerf.例9. F a,b/ , 其中 为由 aba1b1生成的正规子群.这说明 aba1b1= e, 即 ab = ba. 即F a
15、,b/ = Za Zb.例10.F a,b/ = Z/2 Z/3= Z/6.定理3.4 (Van Kampen). 设 X 为分成两个开子集 U,V 的并. 满足1) X = U V , 基点 x0 U V .2) U,V,U V 都是道路连通的.则有如下结论:i) 内射导出基本群的同态. 令i1:1(U V,x0) 1(U,x0)i2:1(U V,x0) 1(V,x0)j1:1(U,x0) 1(X,x0)j2:1(V,x0) 1(X,x0)j1,j2可导出 j:1(U,x0) 1(V,x0) 1(X,x0). 对任何的 1(U,x0) 1(V,x0) 中的元素, 可写成1122nn,其中 i 1(U,x0), 1 1(V,x0) 定义 j 如下j(1122nn) = j1(1) j2(1) j1(2) j2(2) j1(n) j2(n)= 1 12 2n n,这里是 X 中的乘积.1221UV图 1: U,V 的分解以及映射 j.ii) 映射 j 是满同态.103VAN-KAMPEN定理11iii) 对 1(U V,x0) 中的 , 在自由积 1(U,x0) 1(V,x0) 中,i1
16、()i2(1) = 单位元 e, 但j (i1() i2(1) = e 1(X,x0).iv) kerj = 所有 i1() i2(1) 生成的 1(X,x0) 正规子群. 其中 1(U V,x0).应用举例例11. 设 X = S1 S1- S1的一一一点点点和和和. 求 1(S1 S1,x0).Xx0S1aS1bUVx0x0S1aS1bx0U V图 2: S1 S1的分解证证证明明明: 如图, 将 X 分解为两个开集 U,V 的并. 那么, 由于 U,V 的触角都是可缩的, 从而 1(U,x0) = Za,1(V,x0) = Zb, 1(U V,x0) = e. 这样, 由 Van-Kampen 定理,1(S1 S1,x0) = 1(U,x0) 1(V,x0)/N.其中, N = e (i1(e) i2(e1所生成的正规子群), 这是因为 i1(e),i2(e) 分别是1(U,x0) 和 1(V,x0) 所对应的单位元, 按照自由群的定义, 它们是一致的.于是 1(S1 S1,x0) = Za Zb= F a,b.注记. 上例 F a,b 的元素所代表的几何意义如下. 例如, a2
17、ba1b2代表依次左两周、右一周、左反向一周、右两周的旋转. 将上述讨论一般化: 令 Y = S1, 对任意的 , S1= S1. 则 1(Y,S1) = F .思考, 若 是一个无限集, 能否通过群的极限来解释上述公式成立?去掉空间的某些元素设 X 是一个拓扑空间. 1(X,x0), :I X. 可以对应一个映射 :S1 X, S1=e2it C|t 0,1, (e2it) = (t). S1也可看作圆盘D2的边界. 将D2的边界S1按照e2it (e2it)的规则粘接在 X 上, 得到的空间记为 X D2.定理3.5. 令 x0= (e0), 则1(X D2,x0) = 1(X,x0)/ ,其中 为由 生成的正规子群.D2 (S1)= S1Xx0Ux0U Vx0Vx0图 3: X D2的分解证证证明明明:U= X, f:U压下来 X. 因此, 1(U,x0)= 1(X,x0). 注意到 V 可缩, 于是 1(V,x0) = e. 而U V 与 S1同胚, 从而 1(U V,x0)= 1(S1,x0) = Z1, 其中 1 是圆上的闭路.由 Van-Kampen 定理,1(X,x0)
18、 = (U,x1) e/ = 1(U,x0)/ 因 i2:1(U V,x0) 1(V,x0) = e.= 1(X,x0)/ .用 f诱导.注记. 这样就可以证明对任何一个群 G, 都可以用一个基本群来实现. 即, 粘上那些要模掉的.例12. 求 T = S1 S1的基本群.证证证明明明: 法一:1(S1 S1,x0) = 1(S1,x0) 1(S1,x0)= Z Z = Z Z.法二:pasteTbaS1 S1aba1b1如图, 令T = (S1S1) D2, = aba1b1. 则, 1(S1S1,x0) = F a,b/ = ZZ.思考. 同理, 考虑 RP2, Kelien 瓶, So(2), So(3), RPn的基本群.124奇异同调群134奇异同调群它是拓扑中的难点, 有三个主要的定理: 切除定理、Mayer-Vietoris 序列、泛系数定理. 奇异同调群其实就是一个函子.设 R 是一个主理想整环. 回忆 R-模的定义(它可看成线性空间的推广). 注意有些 R-模不是自由的,但是线性空间都是自由模. 常见的主理想整环有 R = Z、Z/p 其中 p 为素数、 Q、 R.
19、后三者还是域. 注意域上的模和域上的线性空间是一致的.定义4.1. 设 cn 是一簇 R-模. 若存在同态 n:Cn Cn1使得 nn+1= 0 (零同态):Cn+1n+1/Cnn/Cn1.一般地, 我们如下的表示同态序列/Cn+1n+1/Cnn/Cn1n1/C11/C0/0.则称 C = Cn,nn0为一个链链链复复复形形形. n称为边边边缘缘缘同同同态态态. Cn称为 n-维维维链链链.定义4.2. 假设 C = Cn,nn0是一个链复形. 定义 Cn的子模 Zn(C) = kern, 称为链复形 C 的 n-维闭闭闭链链链(模). Bn(C) = Im n+1称为链复形 C 的边边边缘缘缘链链链(模). 它们都是交换群. 容易知道, Bn(C) Zn(C).从而可作商群 Hn(C) = Zn(C)/Bn(C), 称为 C 的 n-维同同同调调调群群群.例13. 令 Cn Z ( Z-模), 而ZZ2k= 2:C2k/C2k1k/2kZZ2k1= 0:C2k1/C2k2k/0.则我们有/C2k+12k+1/C2k2k/C2k12k1/C2k2/C11/C0/0/Z0/Z2/Z0/Z
20、/Z0/Z/0.即 C = Cn,n 是链复形. 而且 当 n = 2k 时, ker2k= 0, Im 2k+1= 0. 从而 H2k(C) = 0. 当 n = 2k 1 时, ker2k1= Z, Im 2k= 2Z. 从而 H2k1(C) = Z/2Z = Z/2. 当 n = 0 时, ker = Z, Im 1= 0. 从而 H0(C) = Z/0 = Z.注记. 上面这个例子是无限维实射影空间的同调群.定义4.3. 设 C = Cn,nn0, D = Dn,nn0是两个链复形. 如对任意的 n 0, 有同态 fn:Cn Dn使得 nfn= fn1n, 也即下图交换/Cn+1n+1/fn+1?Cnfn1n?nfn*n/fn?Cn1n1/fn1?/C11/f1?C0/f0?0/Dn+1n+1/Dnn/Dn1n1/D11/D0/0.则称 f = fnn0为从链复形 C 到 D 的一个链链链映映映射射射.注记. 链映射有如下性质 fn(Zn(C) Zn(D); fn(Bn(C) Bn(D).于是由群的同态基本定理得到如下定理4.4. 设 f:C D 是一个链映射, 则 f 可导出
21、同调群的同态f:Hn(C) = kern/Im n+1 Hn(D) = kern/Im n+1.链复形的构造奇异单形记 R=(x1,x2,.,xn,.)|只有有限个 xi= 0, 称为无穷维欧氏空间. 在 R中自然的定义加法和数乘, 它可以成为一个线性空间. 定义其上的距离d(x,y) =vuuti=1(xi yi)2,这里 x = (x1,x2,.,xn,.), y = (y1,y2,.,yn,.) R.明显地, Rn中的点 (x1,x2,.,xn) 可以自然的看作 R的点 (x1,x2,.,xn,0,.). 这样容易得到无穷维球面、无穷维射影空间的概念.令e0=(0,0,.,0,.)e1=(1,0,.,0,.)e2=(0,2,.,0,.).en=(0,0,.,第 n 个n ,.).=.对任何 n 0, e0,e1,.,en张成一个凸多面体 n,n=t0e0+ t1e1+ + tnen|ti 0,ni=1ti= 1,称为 n-维标标标准准准单单单形形形.容易知道,0维标准单形是一个点 e0e01维标准单形是以 e0, e1为端点的线段e0e12维标准单形是以 e0, e1, e2为顶
22、点的三角形e0e1e23维标准单形是以 e0, e1, e2, e3为顶点的四面体144奇异同调群15e0e1e2e3等等.对任何一个 i = 0,1,.,n. 将对应e0,e1,.,en1 e0,e1,.,ei1, ei,ei+1,.,en,作线性扩张, 得到映射 Fi:n1 n,Fi(t0e0+ t1e1+ tn1en1) = t0e0+ t1e1+ ti1ei1+ tiei+1+ + tn1en.称为 n的第第第 i 个个个面面面(算子).例14. 考察 Fi:0 1, i = 0,1. 容易知道e0e0e1F0F1完全类似地, 考察 Fi:1 2, i = 0,1,2. 容易知道e0e1e0e1e2F0F1F2引理4.5. 当 j i 时,n1FjFi1/FiFjFjFi188nFiFj/n+1即,FiFj= FjFi1.定义4.6. 设 X 是一个拓扑空间. R 是一个主理想整环. 一个连续映射 :n X 称为 X 的一个奇奇奇异异异单单单形形形.注记. 注意, 奇异单形指的是整个映射, 从而单形相同指的是作为映射完全一样.e0e1e2(e0)(e1)(e2)令 Sn(X)
23、为 X 的所有 n-维奇异单形生成的自由 R-模. 即Sn(X) =以所有 n-维奇异单形为基生成的线性空间=有限个jrjj|rj R,j:n X.称为 X 的 n-维 R 系数奇奇奇异异异链链链(模).对 X 的一个 n 维奇异单形 : X. 复合映射Fi:n1Fi/n/X 是一个 n 1 维的奇异单形. 这样的奇异单形一共有 n + 1 个.e0e1F0 F0e0e1e2(e0)(e1)(e2)如图所示, F0就是从 (e1) 到 (e2) 的道路.对 Sn(X), 定义n() =ni=0(1)iFi Sn1(X).对 n作线性扩充得到(环)同态n:Sn(X) Sn1(X)jrjj7jrj(nj)引理4.7. 因 nn+1= 0, 故 S(X) = Sn(X),n 是一个链复形. 记为 S(X) 或者 S(X,R), 它对应的 Hn(S(X) 称为 X 的 R 系数 n-维(非退化)奇异同调群. 记作 Hn(X,R). 当主理想整环 R = Z 时,Hn(X,Z) 称为整系数奇异同调群, 记作 Hn(X).证证证明明明: 利用关系, 当 j i 时, FiFj= FjFi1.Hn(
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