南开代数拓扑讲义--王向军

代数几何王向军南开16届暑期学校2010年8月10-19摘摘摘要要要: 本讲义是基于南开暑期学校代数拓扑的讲稿整理而得. 沿着代数拓扑的一条主线, 快速而简洁的给出了代数拓扑的一个概貌. 非常适合于那些没有接触过代数拓扑而又想了解一点代数拓扑知识的读者.本讲义前三节讲同伦论后面几节都是讲同调论, 主要涉及同伦不变性、正合序列以及切除定理, 最后还提到了 Mayer-Vietoris 序列. 主要定理的证明都是比较难的, 也不可能在短短的几节课中讲明白. 从而授课者采取给出定理陈述、简单介绍定理证明思想、着重强调定理的运用的讲授方法. 希望本讲义笔记能给更多的人带来学习代数拓扑的愉悦体验, 事实上在学习过程中, 我觉得很多基本的概念都是非常自然的. 而这一理论在现代数学中的应用, 几乎是随处可见的.主要参考书目1 周建伟, 代数拓扑讲义, 北京:科学出版社, 2007, 很好的入门教材.2 M.J. Greenberg and J.R. Harper, Algebraic topology: a first course, Benjamin/Cummings Pub. Co.,1981, 学习奇异同调论.3 A. Hatcher, Algebraic topology, 清华大学出版社, 2005, 本质不容易搞清楚.4 J.R. Munkres, Elements of algebraic topology, vol. 2, Addison-Wesley Reading, MA, 1984.代数拓扑基本来说分为两个部分, 一是同伦论, 二是同调论.主要的目的是对拓扑空间进行(同胚)分类, 现在已经完成的是2维闭曲面的分类, 关于3维及其以上的闭流形的分类还不知道.拓扑分类的一个基本的问题:如何判断两个拓扑空间同胚?代数拓扑的方法是引入函函函子子子的概念, 使得拓扑空间的范畴 代数(群、环)的范畴拓扑空间 X 群 G(X)映射 f:X Y 同态 f:G(X) G(Y ).Noted by Van Abel. Email: Van Abel1例1. R1与 R2不同胚. (去掉一个点后的连通性) R2与 R3不同胚. (基本群) Rn与 Rn+1不同胚. (同调群)1同伦与基本群的概念定义1.1. 设 f,g:X Y 是两个映射1, 如果存在 F:X × I = X × 0,1 Y , 使得对任何的 x X, 都有F(x,0) = f(x) 以及 F(x,1) = g(x). 那么称 f 与 g 同同同伦伦伦. 记为 f g, 或者 fF g. F 称为 f 到 g 的伦伦伦移移移.令 F(x,t) = Ft(x), t I. F 是随时间 t 连续变化的映射.定义1.2. 设 X,Y 是两个拓扑空间, 如果存在映射 f:X Y 以及 g:Y X , 使 fg idX, gf idY,则称 X,Y 是同同同伦伦伦等等等价价价的. 它比同胚弱.例2. 圆 S1与 R2/pt 是同伦等价的. 圆盘 D2与单点集 pt 是同伦等价的. 环形带子 X 与 S1是同伦等价的. 圆环去掉一点与两个圆的一点并(相切)是同伦等价的. So(2) S1. So(3) RP3.注记. 基本群与同调群是同伦不变的.定义1.3 (道路). 拓扑空间 X 中一条道道道路路路是指映射 :I X. 且成 (0) = x0为起起起点点点, (1) = x1为终终终点点点.注记. 拓扑空间 X 称为是道道道路路路连连连通通通的的的, 如果对 X 中任何两点都有一条道路与之相连.定义1.4 (道路同伦). 设 , 是 X 中从 x0到 x1的道路, 如果存在同伦 F:I × I X 使得对任意的s,t I 都有F(s,0) = (s),F(s,1) = (s),且F(0,t) x0,F(1,t) x1.那么称 , 是道道道路路路同同同伦伦伦的. 记作 Fp 或者 = rel0,1.x0x1F(s,t)注记. 若不加端点固定, 则道路连通空间中的任何两条道路都是道路同伦的.1我们说的映射, 除非特别说明, 都假定是连续的.21同伦与基本群的概念3引理1.5. 映射同伦与道路同伦都是等价关系.注记. 给定两个(拓扑)空间 X,Y , 从 X 到 Y 的同伦等价类记为X,Y = YX/ .那么代数拓扑的基本问题就是对这个对这个等价类所成空间的研究, 即同伦分类.例3.Sn,Sn = Z,Sn1,Sn =0,n = 1Z,n = 2Z/2,n > 2.注记. 类似地, 我们有道路同伦等价类. 记 PX=|:I X, 连续, 它是一个拓扑空间(有所谓的紧紧紧开开开拓拓拓扑扑扑). 那么道路同伦等价类记为PX/ p=| 是 X 中的道路.定义1.6. 设 , 是 X 中的两条道路, 且 (1) = (0) = x1, 则可定义 与 的乘乘乘积积积道道道路路路为 · :I X · (s) =(2s),0 s 1/2,(2s 1),1/2 s 1.引理1.7. 如果 p, p且 · 可定义, 则 · 也可定义且 · p· .从而, 可知道路同伦等价类中定义运算 · = · .定理1.8. 道路同伦等价类集 PX/ p中运算满足i) 结结结合合合律律律( · ) · = · ( · ).ii) 左左左右右右单单单位位位元元元 对 x X, 记 ex为 x 点处的常值道路 ex(s) x. 则对任何一条道路 (0) = x0,(1) = x1), 有ex0 · = · ex1 = .iii) 逆逆逆元元元素素素 对任意的 :I X, 定义 之逆道路 1:I X, 为 1(s) = (1 s). 则ex0 = · 1, · 1 = ex1在 X 中选定基点 x0, 记X= :I X|(0) = x0= (1),为闭路的集合, 它也有拓扑. 又其等价类的集合记为X/ p= |:I X,(0) = (1) = x0.这样, 对任何 , X/ p, · 以及 · 都有定义. 从而 X/ p在道路的乘积运算下构成群, 称为 X 的基基基本本本群群群. 记作 1(X,x0).注记. 基本群不一定交换, 即 · = · 不一定成立.定理1.9. 对任何群 G, 都存在拓扑空间 X, 使得 1(X,x0) = G. 基本群又称为1维同伦群. 注意到 X为一拓扑空间, 若取定基点 ex0, 则可以继续构作2维同伦群2(X,x0) = 1(X,ex0).完全类似地, 若记 2X= X, 则可定义3维同伦群为3(X,x0) = 2(2X,C0),等等.基本群的特点设 f:X Y 是映射, 则对 X 中任何闭路 :I X, f:I Xf Y 是 Y 中的闭路, 且当 p 时, f = f.定义1.10. 对于映射 f:X Y 可导出基本群的映射 f:1(X,x0) 1(Y,y0), f() = f. 这里y0= f(x0).定理1.11. f:X Y 导出基本群的同态 f:1(X,x0) 1(Y,y0) 是群同态. 而且还满足i) 对 f:X Y , g:Y Z, 有(gf)= gf.即下列图交换1(X,x0)f/(gf)&&MMMMMMMMMM1(Y,y0)g?1(Z,z0).ii) idX:X X 导出的 (idX)= id:1(X,x0) 1(X,x0).注记. 基本群一定是同胚不变量, 实际上它还是同伦不变量.注记. 同伦不变的意思是指: 设 f:(X,x0) (Y,y0), g:(Y,y0) (X,x1) 满足 gf idX, fg idY,则f:1(X,x0) 1(Y,y0),以及g:1(Y,y0) 1(X,x1),都是同构.证证证明明明: 证明有些复杂, 需要讨论基点的作用.42圆的基本群及其应用52圆的基本群及其应用回忆, 基本群 1(X,x0) = |:I X,(0) = (1) = x0 它是拓扑不变量. 即, 若 f:X Y 是同胚, 则 f:1(X,x0) 1(Y,y0) 是群同构.事实上, 基本群还是同伦不变量. 设 f,g:X Y 是两个同伦映射.F 是 f 到 g 的伦移. 又设f(x0) = y0, g(x0) = y1. 对 F:X × I Y , 令 (s) = F(x0,s). 则 (0) = F(x0,0) = f(x0) = y0,(1) = F(x0,1) = g(x0) = y1. 这说明 :I Y 是从 y0到 y1的一条道路.引理2.1. 若 f g, 则有如下交换图1(Y,y0) ?1(X,x0)f88qqqqqqqqqqg&&MMMMMMMMMM1(Y,y1).其中 :1(Y,y0) 1(Y,y1) 定义为 7 1· · , 它是一个同构. 因而道路连通的拓扑空间之基本群与基点的选择无关.y1y01定理2.2. 若 f:(X,x0) (Y,y0) 是空间的同伦等价映射. g:Y X 是 f 的同同同伦伦伦逆逆逆, 即gf idX,fg idY.又设 gf(x0) = g(y0) = x1, fg(y0) = f(x1) = y1. 则有如下交换图1(X,x1) ?1(X,x0)(gf)88qqqqqqqqqqid&&MMMMMMMMMM1(X,x0)1(Y,y1)?1(Y,y0)fg88qqqqqqqqqqid&&MMMMMMMMMM1(Y,y0).由此可以证明基本群是同伦不变的.下面我们来考虑圆的基本群及其应用. 记 S1= z = e2it C|t R 是复平面上的单位圆. 取定基点 x0= e0= 1 .定理2.3. 1(S1,x0)= Z, 其生成元是 1,1:IS1,s7e2is.为了证明上述定理, 我们构造映射 P:R S1, 满足Px0= 1S1U0123456789R 对任意 z0= e2it0 S1, 有 P1(z0) = t0± n|n Z= Z. 对于 S1上任意一段弧 U, 有 P1(U)= U × Z.即 P 是保持基点不动的覆盖映射.我们还需要引理2.4 (道路提升引理). 假设 :I S1是圆上的一道路, 起点为 x0= 1. 那么存在唯一的道路1:I R 是 1(0) = 0 且 P= . 称 为 的道道道路路路提提提升升升.引理2.5 (覆盖同伦引理). 若 , 是圆上两道路同伦的道路. F:I × I S1是从 到 的道路伦移. 令(0) = (0) = x0= 1. 则存在违约的同伦 F:I × I R 使得 F(0,0) = 0 且 PF= F. F称为 F 的覆覆覆盖盖盖同同同伦伦伦.注记. 覆盖同伦引理蕴含着道路提升引理.我们有以下事实 (s) = F(s,0) 满足 (0) = 0, P(s) = PF(s,0) = F(s,0) = (s), 即 是 的道路提升. (s) = F(s,1) 满足 P(s) = PF(s,1) = F(s,1) = (s). 对任意的 t I, PF(0,t) = F(0,t) x0= 1. 故 F(0,t) P1(x0) = Z. 因 0 × I 是连通的,故 F(0,t) 0. 即 (0) 0. 同理, 若 (1) = k, 则 (1) = k.现在来证明定理.证证证明明明: 构作 :1(S1,x0) Z, 对任意的 1(S1,x0), 在 R 中有提升 :I R, (0) = 0. 有P(1) = x0= 1, 知 (1) Z. 定义() = (1) Z.若 p, 则 (1) = (1). 从而定义是良好的. 是同态. 即( · ) = () + ().事实上, · = (+ (1). 是满射.事实上, 对任何 n Z, 令 n:I S1为 n(s) = e2ins则 (n) = n.62圆的基本群及其应用7 是单射.若 () = () = n, 则提升 (0) = (0) = 0, (1) = (1) = n. 即是直线 R1上有相同起点、终点的道路同伦, 即 p蕴含 PpP. 即 = .例4. 单位圆盘. S1为 D2的边界圆, 则不存在这样的映射 :D2 S1使 i = idS1. 即圆不是圆盘的收缩核.i = idS1:S1i/id BBBBBBBBD2?S1.证证证明明明: 假设存在, 取定基点 x0 S1, 则有i= id:Z= 1(S1,x0)i/id(RRRRRRRRRRRRR1(D2,x0)?1(S1,x0)= Z.但是, D2是同伦等价于 x0的, 即 D2 x0. 故 1(D2,x0) = 1(x0,x0) = 0. 这与上面的图交换矛盾.定理2.6 (Brouwer 不动点定理). 任何连续映射 h:D2 D2都有不动点.即存在 x0 D2使得h(x0) = x0.证证证明明明: 若有 h:D2 D2之映射, 使得对任意的 x D2都有 h(x) = x. 则令 (x) 为连接 h(x) 与 x 的射线与 S1之交点.h(x)x(x)S1D2当 x S1时, (x) = x. 即有映射 :D2 S1满足 i = id. 矛盾!注记. 利用圆的基本群还可以证明代数学基本定理. 反设无复根则可构作一同伦使圆的基本群中单位元和绕 n 圈的元一样.例5. 记 Sn为标准的 n 维球面, 取基点 e1= (1,0,.,0| z n 个). 当 n > 1 时, 1(Sn,e1) = 0.e1e1U证证证明明明: 对任何映射 f:X Sn,n > 1. 若 e1不在 f 的像中, 则 f pCe1,Ce1为常值映射, 即Ce1(x) = e1. 若对任意的 x X, 都有 f(x) = e1. 则对任意 t I, 有(1 t) · f(x) + t · e1= 0,构作同伦F(x,t) =(1 t)f(x) + te1(1 t)f(x) + te1,则 F(x,0) = f(x), F(x,1) = e1.下面证明, 对任何闭路 :I S1, 只需要证明 p. 满足 e1不在 的像中. 找包含 e1的一个小开邻域 U, 使 U 同胚于 Dn. 现在, :I Sn连续, 1(U) 是 I 中的开集. 即 I 中一些小开区间(ai,bi) 的并. 只选 在 (ai,bi) 内过 e1的线段, 设为 (a1,b1),.,(an,bn), (它只有有限个, 否则它们将收敛到 e1, 不在出去).(bi)(bi)(ai)(b1)(ai)(a1)e1U把线段移到 U 的边界上, 则得 不经过 e1.这样, ppCe1.注记. 由此还可证明 R2= R3. 因 R2/pt= S1, R3/pt= S2.3Van-Kampen 定理设 G是一集簇.直积: G, 它中的元素可看成映射 g: G, 7 g. 乘积 g · f: 7 g· f.直和: G, 它中的元素也可看作映射 g: G, g. 但它只有有限个 g不是 G中的单位元e.当 为一有限集时, 则当 G都交换时, = G; 但当 为无限集是, 即使 G都交换,与 G也不同.83VAN-KAMPEN定理9例6. 令 = N, 对任意的 n N, 定义 Gn= Z/10. 则 n=1G的元素是 (a1,a2,.,an,.); 它代表的是无理数. 而 G的元素是 (a1, a2, 0, ., 0, an, ., 0, ., 0)有限个非零; 它代表的是部分有理数(不包括循环小数).自由积:定义3.1. 设 G是一簇群, 定义 G 的自由积:G为一个群. 且1) G的单位元 e= e.2)G中的元素是任何有限长的字, 即 g1g2.gn(有限个元素之顺序写出), 其中 gi Gi.3) 乘积 (g1g2.gn)·(h1h2.hm) = g1g2.gn·h1h2.hm且当 gi,gi+1 G时, 且 gi·gi+1= g G.则g1g2.(gigi+1).gm= g1g2.(g).gm.4) g1g2.gm的逆为 (g1m).(g12)(g11).例7. Za= an|n Z, Zb= bn|n Z. 则 Za Zb中的元素是: an1bm1an2bm2.ankbmk. Za· Zb又称为由 a,b 两个元素生成的自由群. 记作 F a,b.例8. 设 是一个下标集,对任何的 , 记Z= n|n Z为由 生成的自由 Abel 群.Z称为由 生成的自由群, 记作 F .思考. 生成的自由 Abel 群应该是直和?引理3.2. 设 为一个下标集, G 是一个群. 则任何集合的映射 f: G 都可以唯一的扩充成一个群的同态f:F G.证证证明明明:f(n11.nmm) = f(1)n1· . · f(m)nm.自由群的作用定理3.3. 任何一个群 G 都是某个自由群的商群. 进而任何一个群都可由一个基本群来实现.证证证明明明: 令G 为 G 中所有元素所成的集合. FG是自由群.f:G Ga7 a,是一个集合映射. 它可扩充成群同态f:FG G, 且是满射. 从而G= FG/kerf.例9. F a,b/ < aba1b1>, 其中 < aba1b1> 为由 aba1b1生成的正规子群.这说明 aba1b1= e, 即 ab = ba. 即F a,b/ < aba1b1>= Za Zb.例10.F a,b/ < aba1b1,a2,b3>= Z/2 Z/3= Z/6.定理3.4 (Van Kampen). 设 X 为分成两个开子集 U,V 的并. 满足1) X = U V , 基点 x0 U V .2) U,V,U V 都是道路连通的.则有如下结论:i) 内射导出基本群的同态. 令i1:1(U V,x0) 1(U,x0)i2:1(U V,x0) 1(V,x0)j1:1(U,x0) 1(X,x0)j2:1(V,x0) 1(X,x0)j1,j2可导出 j:1(U,x0) 1(V,x0) 1(X,x0). 对任何的 1(U,x0) 1(V,x0) 中的元素, 可写成1122···nn,其中 i 1(U,x0), 1 1(V,x0) 定义 j 如下j(1122···nn) = j1(1) · j2(1) · j1(2) · j2(2)··· · j1(n) · j2(n)= 1· 12· 2···n· n,这里是 X 中的乘积.1221UV图 1: U,V 的分解以及映射 j.ii) 映射 j 是满同态.103VAN-KAMPEN定理11iii) 对 1(U V,x0) 中的 , 在自由积 1(U,x0) 1(V,x0) 中,i1()i2(1) = 单位元 e, 但j (i1() · i2(1) = e 1(X,x0).iv) kerj = 所有 i1() · i2(1) 生成的 1(X,x0) 正规子群. 其中 1(U V,x0).应用举例例11. 设 X = S1 S1- S1的一一一点点点和和和. 求 1(S1 S1,x0).Xx0S1aS1bUVx0x0S1aS1bx0U V图 2: S1 S1的分解证证证明明明: 如图, 将 X 分解为两个开集 U,V 的并. 那么, 由于 U,V 的触角都是可缩的, 从而 1(U,x0) = Za,1(V,x0) = Zb, 1(U V,x0) = e. 这样, 由 Van-Kampen 定理,1(S1 S1,x0) = 1(U,x0) 1(V,x0)/N.其中, N =< i1(e) · i2(e1) >= e (i1(e) · i2(e1所生成的正规子群), 这是因为 i1(e),i2(e) 分别是1(U,x0) 和 1(V,x0) 所对应的单位元, 按照自由群的定义, 它们是一致的.于是 1(S1 S1,x0) = Za Zb= F a,b.注记. 上例 F a,b 的元素所代表的几何意义如下. 例如, a2b·a1b2代表依次左两周、右一周、左反向一周、右两周的旋转. 将上述讨论一般化: 令 Y = S1, 对任意的 , S1= S1. 则 1(Y,S1) = F .思考, 若 是一个无限集, 能否通过群的极限来解释上述公式成立?去掉空间的某些元素设 X 是一个拓扑空间. 1(X,x0), :I X. 可以对应一个映射 :S1 X, S1=e2it C|t 0,1, (e2it) = (t). S1也可看作圆盘D2的边界. 将D2的边界S1按照e2it (e2it)的规则粘接在 X 上, 得到的空间记为 X D2.定理3.5. 令 x0= (e0), 则1(X D2,x0) = 1(X,x0)/ < >,其中 < > 为由 生成的正规子群.D2 (S1)= S1Xx0Ux0U Vx0Vx0图 3: X D2的分解证证证明明明:U= X, f:U压下来 X. 因此, 1(U,x0)= 1(X,x0). 注意到 V 可缩, 于是 1(V,x0) = e. 而U V 与 S1同胚, 从而 1(U V,x0)= 1(S1,x0) = Z1, 其中 1 是圆上的闭路.由 Van-Kampen 定理,1(X,x0) = (U,x1) · e/ < i1(1) · i2(1) >= 1(U,x0)/ < i1(1) >因 i2:1(U V,x0) 1(V,x0) = e.= 1(X,x0)/ < > .用 f诱导.注记. 这样就可以证明对任何一个群 G, 都可以用一个基本群来实现. 即, 粘上那些要模掉的.例12. 求 T = S1× S1的基本群.证证证明明明: 法一:1(S1× S1,x0) = 1(S1,x0) × 1(S1,x0)= Z × Z = Z Z.法二:pasteTbaS1 S1aba1b1如图, 令T = (S1S1) D2, = aba1b1. 则, 1(S1S1,x0) = F a,b/ < aba1b1>= ZZ.思考. 同理, 考虑 RP2, Kelien 瓶, So(2), So(3), RPn的基本群.124奇异同调群134奇异同调群它是拓扑中的难点, 有三个主要的定理: 切除定理、Mayer-Vietoris 序列、泛系数定理. 奇异同调群其实就是一个函子.设 R 是一个主理想整环. 回忆 R-模的定义(它可看成线性空间的推广). 注意有些 R-模不是自由的,但是线性空间都是自由模. 常见的主理想整环有 R = Z、Z/p 其中 p 为素数、 Q、 R. 后三者还是域. 注意域上的模和域上的线性空间是一致的.定义4.1. 设 cn 是一簇 R-模. 若存在同态 n:Cn Cn1使得 nn+1= 0 (零同态):Cn+1n+1/Cnn/Cn1.一般地, 我们如下的表示同态序列···/Cn+1n+1/Cnn/Cn1n1/···/C11/C0/0.则称 C = Cn,nn0为一个链链链复复复形形形. n称为边边边缘缘缘同同同态态态. Cn称为 n-维维维链链链.定义4.2. 假设 C = Cn,nn0是一个链复形. 定义 Cn的子模 Zn(C) = kern, 称为链复形 C 的 n-维闭闭闭链链链(模). Bn(C) = Im n+1称为链复形 C 的边边边缘缘缘链链链(模). 它们都是交换群. 容易知道, Bn(C) Zn(C).从而可作商群 Hn(C) = Zn(C)/Bn(C), 称为 C 的 n-维同同同调调调群群群.例13. 令 Cn Z ( Z-模), 而ZZ2k= 2:C2k/C2k1k/2kZZ2k1= 0:C2k1/C2k2k/0.则我们有···/C2k+12k+1/C2k2k/C2k12k1/C2k2/···/C11/C0/0···/Z0/Z2/Z0/Z/···/Z0/Z/0.即 C = Cn,n 是链复形. 而且 当 n = 2k 时, ker2k= 0, Im 2k+1= 0. 从而 H2k(C) = 0. 当 n = 2k 1 时, ker2k1= Z, Im 2k= 2Z. 从而 H2k1(C) = Z/2Z = Z/2. 当 n = 0 时, ker = Z, Im 1= 0. 从而 H0(C) = Z/0 = Z.注记. 上面这个例子是无限维实射影空间的同调群.定义4.3. 设 C = Cn,nn0, D = Dn,nn0是两个链复形. 如对任意的 n 0, 有同态 fn:Cn Dn使得 nfn= fn1n, 也即下图交换···/Cn+1n+1/fn+1?Cnfn1n?nfn*n/fn?Cn1n1/fn1?···/C11/f1?C0/f0?0···/Dn+1n+1/Dnn/Dn1n1/···/D11/D0/0.则称 f = fnn0为从链复形 C 到 D 的一个链链链映映映射射射.注记. 链映射有如下性质 fn(Zn(C) Zn(D); fn(Bn(C) Bn(D).于是由群的同态基本定理得到如下定理4.4. 设 f:C D 是一个链映射, 则 f 可导出同调群的同态f:Hn(C) = kern/Im n+1 Hn(D) = kern/Im n+1.链复形的构造奇异单形记 R=(x1,x2,.,xn,.)|只有有限个 xi= 0, 称为无穷维欧氏空间. 在 R中自然的定义加法和数乘, 它可以成为一个线性空间. 定义其上的距离d(x,y) =vuuti=1(xi yi)2,这里 x = (x1,x2,.,xn,.), y = (y1,y2,.,yn,.) R.明显地, Rn中的点 (x1,x2,.,xn) 可以自然的看作 R的点 (x1,x2,.,xn,0,.). 这样容易得到无穷维球面、无穷维射影空间的概念.令e0=(0,0,.,0,.)e1=(1,0,.,0,.)e2=(0,2,.,0,.).en=(0,0,.,第 n 个n ,.).=.对任何 n 0, e0,e1,.,en张成一个凸多面体 n,n=t0e0+ t1e1+ ··· + tnen|ti 0,ni=1ti= 1,称为 n-维标标标准准准单单单形形形.容易知道,0维标准单形是一个点 e0e01维标准单形是以 e0, e1为端点的线段e0e12维标准单形是以 e0, e1, e2为顶点的三角形e0e1e23维标准单形是以 e0, e1, e2, e3为顶点的四面体144奇异同调群15e0e1e2e3等等.对任何一个 i = 0,1,.,n. 将对应e0,e1,.,en1 e0,e1,.,ei1, ei,ei+1,.,en,作线性扩张, 得到映射 Fi:n1 n,Fi(t0e0+ t1e1+ ···tn1en1) = t0e0+ ···t1e1+ ti1ei1+ tiei+1+ ··· + tn1en.称为 n的第第第 i 个个个面面面(算子).例14. 考察 Fi:0 1, i = 0,1. 容易知道e0e0e1F0F1完全类似地, 考察 Fi:1 2, i = 0,1,2. 容易知道e0e1e0e1e2F0F1F2引理4.5. 当 j < i 时,n1FjFi1/FiFjFjFi188nFiFj/n+1即,FiFj= FjFi1.定义4.6. 设 X 是一个拓扑空间. R 是一个主理想整环. 一个连续映射 :n X 称为 X 的一个奇奇奇异异异单单单形形形.注记. 注意, 奇异单形指的是整个映射, 从而单形相同指的是作为映射完全一样.e0e1e2(e0)(e1)(e2)令 Sn(X) 为 X 的所有 n-维奇异单形生成的自由 R-模. 即Sn(X) =以所有 n-维奇异单形为基生成的线性空间=有限个jrjj|rj R,j:n X.称为 X 的 n-维 R 系数奇奇奇异异异链链链(模).对 X 的一个 n 维奇异单形 : X. 复合映射Fi:n1Fi/n/X 是一个 n 1 维的奇异单形. 这样的奇异单形一共有 n + 1 个.e0e1F0 F0e0e1e2(e0)(e1)(e2)如图所示, F0就是从 (e1) 到 (e2) 的道路.对 Sn(X), 定义n() =ni=0(1)iFi Sn1(X).对 n作线性扩充得到(环)同态n:Sn(X) Sn1(X)jrjj7jrj(nj)引理4.7. 因 nn+1= 0, 故 S(X) = Sn(X),n 是一个链复形. 记为 S(X) 或者 S(X,R), 它对应的 Hn(S(X) 称为 X 的 R 系数 n-维(非退化)奇异同调群. 记作 Hn(X,R). 当主理想整环 R = Z 时,Hn(X,Z) 称为整系数奇异同调群, 记作 Hn(X).证证证明明明: 利用关系, 当 j < i 时, FiFj= FjFi1.Hn(X,R) 中的元链复形···/Sn+1(X)n+1/Sn(X)n/Sn1(X)中, Zn(X) = kern中的元 zn=rjj应满足n(zn) =jrjn(j)=jfjni=0(1)ijFi=0,即, 所有相同的映射 jFi的系数之和为0. Zn(X) 称为一个 n-维维维闭闭闭链链链.165奇异同调群的性质I17Bn(X) = Im n+1中的元 xn+1=kµkk, 其中 k:n+1 X. xn+1应满足n+1(xn+1) =kµkn+1(k)=kµkl(1)lkFl= bn.称 Bn(X) 为 n-维维维边边边缘缘缘链链链.Hn(X,R) = kern/Im n+1, 对 zn kern, zn Hn(X,R) 称为 zn所代表的同同同调调调类类类.这样, zn = zn 指的是: 存在 xn+1 Sn+1(X), 使得 zn zn= n+1(xn+1) Bn(X), 此时称闭链zn同同同调调调于 zn.相对同调群定义4.8. 设 A X 是拓扑空间 X 的子空间. 令Sn(A) =jrjj|rj R,j:n A X.易见, Sn(A) Sn(X). 定义商群Sn(X,A) = Sn(X)/Sn(A).那么, 注意到 n:Sn(X) Sn1(X) 可以限制到 Sn(A) (仍记为 n), 从而得到 n:Sn(A) Sn1(A). 这样 n可导出同态nn:Sn(X)/Sn(A) = Sn(X,A) Sn1(X,A),它满足nn+1= 0.因而 S(X,A) =Sn(X,A),nn0也是一个链复形.称 Sn(X,A) 为 n-维相相相对对对链链链(模).n称为相对于 A 的边缘同态.Hn(S(X,A) 称为 X 的 R 系数的相对同调(模), 记为Hn(X,A,R). 当 R = Z 时, 简记为 Hn(X,A).思考. 下次课将计算单点集的链复形和同调群, 自己课后思考它们分别是什么?5奇异同调群的性质 I回忆奇异链复形Sn(X) =jrjj|rj R,j:n X以及边缘同态n() =ni=0(1)iFi,其中Fi:n1Fi/n/X.例15. 任何奇异链复形···/S2(X)2/S1(X)1/S0(X)/0的零维同调群 H0(X,R) = S0(X)/Im 1, 其中 S0(X) 的生成元是 :e0 = 0 X. 若将 记为x = (e0), 那么S0(X) =jrjxj|rj R,xj X.这样, 对任何 x H0(X,R) 有如下结论: 设 x0, x1 X, 而且存在 x0到 x1的道路 :1= I =0,1 X, (e0) = x0, (e1) = x1. 那么 S1(X), 且 1() = F0 F1= x1 x0 S0(X,R),这说明连个闭链之差是边缘. 从而 x0 = x1 H0(X,R), 而且 r · x0 = r · x0.e0e1(e0)(e1)于是, 如果拓扑空间 X 有 n 个道路连通分支, 记 X = X1 X2 ··· Xn, 其中 表示无无无交交交并并并. 则H0(X,R) = ni=1xi= R R ··· R, 即为 n 个 R 的直和. 其中 xi Xi, i = 1,2,.,n.xi 是H0(Xi,R) 的生成元.下面来看 H1(X,R). 首先, 按照定义 H1(X,R) = ker1/Im 2.对于1维奇异单形 :1 X, 1() = (e1) (e0). 现在, 若 是闭路(环路), 则 1() = 0. 即 ker1. 于是对于闭路 , 有 H1(X,R). 但是, 一般地, 可能还有其它元. 例如 i, i = 1,2,3 如图中所示,e0e1i312x0x1x2那么 1(1+ 2+ 3) = (x1 x0) + (x2 x1) + (x0 x2) = 0. 这说明 1+ 2+ 3是闭链.思考. 道路乘积 1· 2· 3是闭路, 从而是闭链. 它所在的同调类为 1· 2· 3, 而 1+ 2+ 3也是闭链, 它所在的同调类为 1+ 2+ 3. 试说明 1· 2· 3 = 1+ 2+ 3 H1(X,R).命题5.1. 设 p 是两道路同伦的闭路. 作为基本群的元素, 我们有 = 1(X,x0). 更进一步地, 作为同调群 H1(X,R) 的元素, 我们也有 = .证证证明明明: 设 F 是从 到 的伦移, F:1× I X. 如下图所示, 图中 Cx0是一个常值道路.x0I1OFtXCx0e0e1e2pq185奇异同调群的性质I19令 p = (1 t)e1+ te2, q = (1 s)e0+ sp, 其中 s,t I = 0,1. 定义(q) = F(s,t) X,则2() = F0 F1+ F2= Cx0 + .构作 µ:2 X, µ(q) = x0. 则2(µ) = µF0 µF1+ µF2= Cx0.从而, 2( µ) = . 即 , 相差一个边缘, 故 = H1(X,R).定理5.2. 由于 X 中的闭路都是闭链, 从而可以定义映射:1(X,x0) H1(X,Z)7 ,它是一个满同态.ker = 1(X,x0),1(X,x0) = 所有的11 生成的正规子群.其中 , 1(X,x0).从而, 由群的同态基本定理, 得到H1(X,Z)= 1(X,x0)/ker.证证证明明明: 定理的证明较难.例16.1(S1 S1,x0) = F a,bH1(S1 S1,x0) = F a,b/ < aba1b1>= Z Z.例17. 单点空间的奇异同调群.证证证明明明:Sn(x0) =r · Cx0|Cnx0:n x0= R.当 n = 2k 时, n1Fi/nCnx0/x0.2k(C2kx0)= Cx0F0 Cx0F1+ ··· + Cx0F2k= C2k1x0 C2k1x0+ C2k1x0 ··· + C2k1x0= C2k1x0.2k+1(C2k+1x0)= C2k+1x0F0 C2k+1x0F1+ ··· C2k+1x0F2k+1= 0.···/S2k+1(x0)2k+1/S2k(x0)2k/S2k1(x0)2k1/S2k2(x0)/···/S1(x0)1/S0(x0)/0···/R0/R1/R0/R/···/R0/R/0于是,ker2k= 0,Im 2k+1= 0,H2k(x0,R) = 0,ker2k1= R,Im 2k= R,H2k1(x0,R) = R/R = 0,H0(x0,R) = R.故,Hn(x0,R) =R,n = 0,0,n > 0.例18. 若 X = x1,x2,.,xn 是 n 个离散点, 则它的同调群是Hn(X) =R R ··· R|zn个,n = 0,0,n > 0.拓扑空间连续映射的诱导同态奇异同调可看成一个函子:拓扑空间 X: Hn(X,R),连续映射 (f:X Y ) (f:Hn(X,R) Hn(Y,R).令 T 是拓扑空间的范畴, 如果 f:X Y 是映射, 则对任何 :n X, f:n/Xf/Y 是 Y 中的奇异单形.对 f 作线性扩充得到同态f#:Sn(X) Sn(Y )rjj7rj(fj),这个 f#是一个链链链映映映射射射导出同调群的同态:f:Hn(X,R) Hn(Y,R)rjj rj(fj) Hn(Y,R).定义5.3. 映射导出的同态满足1. 对 f:X Y 和 g:Y Z, 有(gf)= gf,即由下图交换.Hn(X,R)f/(gf)$IIIIIIIIIIIIIHn(Y,R)g?Hn(Z,R).205奇异同调群的性质I212. 1:X X 导出单位同态1= 1:Hn(X,R) Hn(X,R).同调群的公理化定义1950 年, Steenood 提出了公理化定义. Hn是满足如下条件的函子 拓扑空间 Z = 同调群 Hn(Z,R); 映射 f:X Y = 群同态 f:Hn(X,R) Hn(Y,R); 单点同态 Hn(x0) = Hn(x0,R) =R,n = 0,0,n > 0.理论上讲, 所有的单纯、奇异、Dric 上同调. 又若还满足同伦不变、正合序列、切除定理, 则这就是奇异同调.奇异同调和相对同调的统一处理设 f:(X,A) (Y,B) 是一个映射, 且 f(A) B, 则f#:Sn(X) Sn(Y ),f#:Sn(A) Sn(B).f 导出链映射 f#:Sn(X,A) Sn(Y,B). 从而有同调群的同态 f#:Hn(X,A,R) Hn(Y,B,R). 取A = B = , 则相对同调群就是同调群, 即 Hn(X,R) = Hn(X,R).定理5.4. 如果 fF g:(X,A) (Y,B) 且 F(A × I) B, 则 f= g:Hn(X,A,R) Hn(Y,B,R).注记. 一般地,f#(fjj) =rj(fj) = g#(rjj) =rj(gj).但对 zn Hn(X,A,R), 则fj(fj)= f(zn) = g(zn) =rj(gj).证证证明明明: 基本思想是, 有如下的同伦链···/Sn+1(X,A)n+1/fg?Sn(X,A)n/Dnyyrrrrrrrrrrfg?""Sn1(X,A)/Dn1yyrrrrrrrrrrfg?···/S1(X,A)1/fg?S0(X,A)/D0zztttttttttfg?0···/Sn+1(Y,B)n+1/Sn(Y,B)n/Sn1(Y,B)/···/S1(Y,B)1/S0(Y,B)/0F 导出 Dn:Sn(X,A) Sn+1(Y,B), 满足f# g#= n+1Dn+ Dn1n,D = Dnn0称为 f#到 g#的链同伦.6奇异同调群的性质 II回顾, 上节课的内容.对任何 zn Hn(X,A,R), 若满足 nzn= 0, 则f#(zn) g#(zn) = n+1Dn(zn) + Dn1n(zn)= n+1Dn(zn),(n(zn) = 0).从而 f#(zn) 与 g#(zn) 相差一个边沿. 故属于同一个同调类.映射 f:(X,A) (Y,B) 导出同态 f:Hn(X,A,R) Hn(Y,B,R) 且若 fF g:(X,A) (Y,B) 同伦(这里要求 F(A,t) B, t I = 0,1.) 则 f= g:Hn(X,A,R) Hn(Y,B,R). 从而, 两个空间是同伦等价的, 那么它们的各维同调群都同构.正合序列定义6.1. 一个模的序列··· Gn+1fn+1 Gnfn Gn1 ··· ,称为在 Gn处是正正正合合合的的的, 如果 Im fn1= kerfn. 若这个序列在每个 Gn处都正合, 则称该序列是正正正合合合的的的.例19. S(x0) 不正合. 但是···/S2k+1(x0)/S2k(x0)/S2k1(x0)/···/S1(x0)/S0(x0)/R/0···/R0/R1/R/···/R0/R1/R/0是正合序列.例20. 序列0/Cf/Dg/E/0,正合是指1f 是单同态;2Im f = kerg;3g 是满同态.这样的序列称为短短短正正正合合合序序序列列列.对任何一个短正合序列, 可以通过 C,E 来确定 D. 这中方法称为群群群扩扩扩张张张.例如, 对短正合序列0/Z/2f/Dg/Z/3/0,D = Z/6.又如, 对短正合序列0/Z/2f/Dg/Z/2/0,D 为 Z/4 或者 Z/2 Z/2.226奇异同调群的性质II23定理6.2. 对任何拓扑空间偶 (X,A), 都有同调群的长长长正正正合合合序序序列列列···/Hn(A,R)i/Hn(X,R)j/Hn(X,A,R)/Hn1(A,R)/···H1(X,R)j/H1(X,A,R)/H0(A,R)/H0(X,R)/H0(X,A,R)/0.注记. 证明很长, 是一个可写而不可读的证明. 证明的思路是: 对于相对奇异链复形 Sn(X,A) =Sn(X)/Sn(A), 则有短正合序列.?.?.?0/Sn(A)i/n?Sn(X)j/n?Sn(X,A)/?00/Sn1(A)/?Sn1(X)/?Sn1(X,A)/?0.将这个序列记为0/S(A)/S(X)/S(X,A)/0.它是链复形的短正合序列, 由它可导出同调群的长正合序列(同调代数里的经典方法追追追图图图法法法). i:A X 内射导出的同态. j:(X,) (X,A) 导出同态 j:Hn(X,R) Hn(X,A,R). :Hn(X,A,R) Hn1(A,R). 设 Hn(X,A,R) 中的同调类是 zn, 即 zn Sn(X)/Sn(A). 那么zn=rjj. 当 j(n) A 时, 仍为 j= 0 mod Sn(A).AX = 0Sn(X)/Sn1(A)n Sn1(X)/Sn1(A).其中 n(zn) =akk, k(n1) A.akk Zn1(A) = kern1 Sn1(A), 它就是边缘同态的像, 即 zn = akk Hn1(A,R).定理6.3 (切除定理). 设 U 是 X 的一个子集,U 的闭包 U 包含在 A 的内部, 即 U A. 则内射j:(XU,AU) (X,A) 导出的同调群的同态 j:Hn(XU,AU,R) Hn(X,A,R) 是同构.jXAUX UA U注记. 证明的基本思路是: 重心重分、它是链同伦等价、 j 是既单又满. 上同调的切除定理也对, 但证明要用到泛系数定理.奇异同调群的公理化定义奇异同调群是一列满足如下要求的对应 将拓扑空间偶 (X,A) 对应于 Hn(X,A,R) (奇异同调群或者等价的说, R-模); 将映射 f:(X,A) (Y,B) 对应于 f:Hn(X,A,R) Hn(Y,B,R).此外,i) 对 f:(X,A) (Y,B), g:(X,A) (Z,C), 有(gf)= gg;ii) 1:(X,A) (X,A) 导出的同态 1:Hn(X,A,R) Hn(X,A,R) 是恒同映射;iii)Hn(x0,R) =R,n = 00,n > 0;iv) 若 fF g:(X,A) (Y,B) 是同伦, 则 f= g:Hn(X,A,R) Hn(Y,B,R);v) 有长正合序列;vi) 满足切除定理.任何满足如上定义的对应(正式的术语是函函函子子子) hn:T R 和奇异同调群是同构的. 上面的定义也称为同调群的公理化定义.同调群的计算例21. 记 En+为球面上的上半球.SnEn+Sn1En+= x0x0x0246奇异同调群的性质II25计算 En+的同调群.证证证明明明: 注意到 En+ x0, 由同伦不变性, 有Hn(En+,R) = Hn(x0,R) =R,n = 0,0,n > 0.且 H0(En+,R) 的生成元是 x0.对于 (Sn,En+) 有正合序列···/Hm(En+,R)i/Hm(Sn,R)j/Hm(Sn,En+,R)/Hm1(En+,R)/···00···/H1(En+,R)i/H1(Sn,R)j/H1(Sn,En+,R)/H0(En+,R)/0RH0(Sn,R)/H0(Sn,En+,R)/0R由正合序列知,i) 对 n > 1, Hm(Sn,R) Hm(Sn,En+,R). 注意到 H0(En+,R) 和 H0(Sn,R) 之生成元都是 x0. 从而它们之间的同态是恒等映射 1. 故 是零同态. 由此知道 j 是同构, 即 H1(Sn,R)= H0(Sn,En+,R).ii) H0(Sn,E1+,R) = 0, 高维的同调群和球面的同调群一样都是0.例22. 记 En为球面 Sn的下半球面, U 是下半球面中的一个开邻域. 注意到 U En.EnSn1USnEn UEn+Sn1En U从而由切除定理, 有同构(Sn,En)= (Sn U,En U),j:Hm(Sn U,En U,R)= Hm(Sn,En,R)= Hm(Sn,En+,R) =Hm(Sn,R),m 10,m = 0.构作映射 f:(Sn U,En U) (En+,Sn1) 是同伦等价. 因此有同构Hm(Sn U,En U)= Hm(En+,Sn1).下设 n 1.(En+,Sn1) 的同调群的长正合序列是···/Hm(Sn1,R)/Hm(En+,R)/Hm(En+,Sn1)/Hm1(Sn1,R)/Hm1(En+,R)/···00···/H2(En+,R)/H2(En+,Sn1,R)/H1(Sn1,R)/H1(En+,R)/H1(En+,Sn1,R)/00H0(Sn1,R)/H0(En+,R)/H0(En+,Sn1,R)/0RR从而Hm(En+,Sn1)= Hm1(Sn1,R),m 2.当 n > 1 时,H0(Sn1,R)id H0(En+,R) = H0(En+,Sn1,R) = 0 = H1(En+,Sn1,R) = 0.当 n = 1 时,H0(Sn1,R)/H0(En+,R)x0,x1 生成l/x0 生成其中 l 表示将 x0, x1 都映射到 x0.x0x1E1+S1= x0,x1因 x1 = x0在 En+中成立, 从而H0(En+,Sn1+,R) = 0.因映射 l 的核是 R, 其生成元是 x0 x1.注记. 结论:i)Hm(En+,Sn1,R)= Hm(Sn,En+,R)(= Hm(Sn,R) =Hm1(Sn1,R),m 2,R,n = 1,m = 1,0,n > 1,m = 1,0,m = 0.267实射影空间和球面同调群的计算27思考. 自己推导 Sn的同调群是Hm(Sn,R) =R,m = 0,R,m = m,0,其他.7实射影空间和球面同调群的计算回顾上节课的计算.En+Sn1En当 m > 0, n > 0 时,Hm(Sn,R)=Hm(Sn,En,R)=Hm(En+,Sn1,R)长正合序列切除定理利用最后一个群的长正合序列, 我们可计算出i) 当 n 1 时, H(En+,Sn1,R) = 0, Hm(En+,Sn1,R)= Hm1(Sn1,R), m > 1.ii) 当 n = 1 时, H1(E1+,S0,R)= R.iii) 当 n > 1 时, Hm(E1+,S0,R)= Hm1(S0,R) = 0, m > 1.下面我来计算球面的同调群i) 圆 S1: 由 S1道路连通, 故 H0(S1,R) = R. H1(S1,R) = R (用前面的结论). Hm(S1,R) = 0, m > 1.ii)S2的同调群:H0(S2,R) = R,H1(S2,R) = 0,H2(S2,R)= H1(S1,R) = R.Hm(S2,R)=Hm1(S1,R)= 0, m > 2.iii) Sn的同调群: 用归纳法可得, H0(Sn,R) = R, H1(Sn,R) = 0, Hm(Sn,R)= Hm1(Sn1,R) = 0,m = 2,.,n 1. Hn(Sn,R)= Hn1(Sn1,R) = R. Hm(Sn,R)= Hm1(Sn1,R) = 0, m > n.这样, 我们得到Hm(Sn,R) =R,m = 0,n,0,其他.例23. 令 RPn= Sn/ , 其中 Sn是 n-维标准球面, 且 x x.En+Sn1EnxxEn+Sn1注意到 RPn= Sn/ , 对于 x Sn1, 有 x x. 这样 RPn可看成 RPn1和上半球 En+的无交并.即, RPn= RPn1fEn+. 其中 f 表示将 En+边界上的点 x Sn1和 RPn1中的点 x 粘到一起. 这样一直下去, 我们可以得到RPn= RP1 E2+ E3+ ··· En+,称为 RPn的 CW 复形结构.下面来计算 RPn的基本群.RPn1En+U= RPn1U V= Sn1× (a,b)V x1 当 n 1 > 1 时,1(RPn,x0) = 1(U,x0) 1(V,x0)/ < i1( · i2()1) >,其中 1(V,x0)= e. 而且, 当 n 1 > 1 时, 1(U V,x0) = 1(Sn1× (a,b),x0) = e.从而,1(RPn,x0)= 1(RPn1,x0)= ···= 1(RP2,x0).注意到,RP2= RP1fE2+,RP1= S1/ = S1.将 E2+的边界 S1粘在 RP1= S1/ 中的映射 f:S1 S1代表 1(RP1,x0) = 2 (即在粘贴的过程中, 绕 RP1的等价类 x 转两圈). 这样, 我们得到1(RP1,x0) = 1(RP12E2+,x0)= 1(RP1,x0)/ < 2 >= Z/2Z = Z/2. 这样, 我们又得到H0(RPn,Z)= Z,因为 RPn道路连通.而H:1(RPn,x0) H1(RPn,Z),288MAYER-VIETORIS序列29是满射, 而且其核为交换化子. 于是H1(RPn,Z)= 1(RPn,x0)/·,· = Z/2,其中 ·,· 表示 1(RPn,x0) 的交换化子. 利用正合序列、同伦不变、切除定理可以导出 RPn之一般维数的同调群. 尽管典型的方法是利用Mayer-Vietor 序列给出的.课程考试下列题目中任选两道作答, 答对一题即可.1. 证明2维欧氏空间 R2不同胚于3维欧氏空间 R3.2. 2维实射影空间RP2= S2/ , 其中x x, x S2. 试构造拓扑空间X, 使得1(RP2×X,x0) = Z/6.3. 令 X = S1× D2为实心圆环, 其中 D2为单位圆盘. 若 A = S1× S1 X, 试证明 A 不是 X 的收缩核.4. D2为单位圆盘, A = x1,x2 D2. 求 (D2,A) 的各维同调群 Hn(D2,A,Z).5. 设 X 是拓扑空间, 记 X 为 X 的双锥. 即将 X × I 中的 X × 0 和 X × 1 分别粘合对应点而得到X = X × I/ ,(x1,0) (x2,0),(x1,1) (x2,1),x1,x2 X.试证明, 对任意的 n > 1. Hn(X,R)= Hn1(X,R).X × 1XX × 08Mayer-Vietoris 序列Mayer-Vietoris 是类似于 Van-Kampen 定理, 通过将基本空间分解来计算同调群的方法.定义8.1. 设 X1,X2是 X 的子空间, X = X1 X2. 记 X1 X2= A, 若内射k1:Hn(X1,A) Hn(X,X2),k2:Hn(X2,A) Hn(X,X1),都是切除同构的(即导出的同调群同构). 则称 (X,X1,X2) 为一个正正正合合合三三三元元元组组组.X1AX2X2 AX1AX2X1 A关于 Mayer-Vietoris 序列有两种引入办法.法1.构作链复形 S(X1) + S(X2) 如下(其上有边缘同态):Sn(X1) + Sn(X2) =rjj|rj R,j:n X1或者 j:n X2 Sn(X).(即要求奇异单形的像完全在 X1中, 或者完全在 X2中)则有如下引理8.2. 若 (X,X1,X2) 是正合三元组, 则i:S(X1) + S(X2) S(X),(链映射)它导出同调群的同构.下面来构造链复形的短正合序列.j:S(X1) S(X2)S(X1) + S(X2)(x1,x2)7x1 x2,它是链复形的满同态, 而且 kerj = S(X1 X2). 其中 S(X1) S(X2) 中的元素是 Sn(X1) Sn(X2) =(x1,x2)|x1 Sn(X1),x2 Sn(X2).从而有链复形的短正合序列0/S(A)(i1,i2)/S(X1) S(X2)j1j2/S(X1) + S(X2)/0.x/(x1,x2)(x1,x2)/(x1 x2)它导出同调群的长正合序列···/Hn(A)/Hn(X1) Hn(X2)= Hn(S(X1) S(X2)/Hn(S(X1) + S(X2)= Hn(X)/Hn1(A)/···这个序列称为 Mayer-Vietoris 序列.注记. 这个方法的缺点是连续同态 不好描述, 而优点是可以推广到 X = X1X2···Xn的情形. 即构造S(X1) + S(X2) + ··· + S(Xn) S(X),其中 S(X1) + S(X2) + ··· + S(Xn) = rjj|rj R,j:n Xk,k = 1,2,.,n. 然后类似的作下去., 得到的正合序列称为 Mayer-Vietoris 谱谱谱序序序列列列. 它在代数几何中很有用.308MAYER-VIETORIS序列31法2. 有正合序列···/Hn(A)/?Hn(X1)/?Hn(X1,A)/i?Hn1(A)/?······/Hn(X2)/Hn(X)/Hn(X,X2)/i1:切除同构OOHn1(X2)/···提取一条链Hn(X1,A)/Hn1(A)/······/Hn(X)/Hn(X,X2)i1OO记 = i1j, 则得如下定理8.3. 对正合三元组 (X,X1,X2) 有同调群的长正合序列···/Hn(A)(i1,i2)/Hn(X1) Hn(X2)j1j2/Hn(X)/Hn1(A)/···x/(x,x)(z1,z2)/z1 z2称为 Mayer-Vietoris 序列.注记. 这个定理的基本作用是想通过 Hn(A) 以及 Hn(X1) 和 Hn(X2) 计算出 Hn(X).证证证明明明: 将刚才构作的长正合序列拼接, 称为 Borratt-Whitehead 引理.例24. 求环面 T = S1× S1的各维同调群.x2x112X1X2在这里, 我们将圆环沿纵向切割(如图), 自己讨论沿横线切割的情形.X1= S112X2= S1x2x1自己验证 (X,X1,X2) 是一个三元组 (切割的时候少切一部分, 用同伦收缩). 我们有如下的正合序列···/H2(X1) H2(X2)j1j2/H2(T)/H1(A)(i1,i2)/H1(X1) H1(X2)j1j2/0Z ZZ ZH1(T)/H0(A)(i1,i2)/H0(X1) H0(X2)j1j2/H0(T)/0Z ZZ ZZ H0(T) = Z, 其生成元是 x1 = x2 = x, 对任意的 x T. H0(X1) = Z, 其生成元是 x1 = x2. H0(X2) = Z, 其生成元是 x1 = x2. H0(A) = Z Z 生成元是 x1 和 x2.这样,(i1,i2):H0(A)H0(X1) H0(X2)x17(x1,x1)x27(x2,x2)由在 X1中, x1,x2可道路相连, X2中 x1,x2也可道路相连. 故 (x2,x1) = (x1,x1), ker(i1,i2)=Z 由 x2 x1 H0(A) 生成. 由正合性, Im = ker(i1,i2)= Z 由 H0(A) 中 x2 x1 生成. 即存在 z1 H1(T), 使(z1) = x2 x1 = x1 x1.事实上, 因 1(0+ 1+ 2) = 0 z1= 0+ 1+ 2 H1(T) 且H1(X1,A)/?H0(A)H1(T)/H1(T,X2)0+ 1+ 2/1因 0,2都在 X2中.由 1(1) = x2 x1 SO(A), 故 (1) = x2 x1.于是有, 在 H1(T) 中有 0+ 1+ 2 满足(0+ 1+ 2) = x2 x1 生成 ker(i1,i2). 讨论Z ZZ Zqq(i1,i2):H1(A)H1(X1) H1(X2)7(i,i)i = 1,2.H1(A)= Z Z 之生成元是 1,2.H1(X1)= Z 生成元是 1 = 2.H1(X2)= Z 生成元是1 = 2.在 X1,X2之同调群, 有 1 = 2, 即 (1,1) = (2,2). 故 Im (i1,i2)= Z 由 (1,1) 生成, ker(i1,i2)= Z 由 2 1 生成. 于是 H2(T)= Z= Im = ker(i1,i2). 下面来计算 j1 j2.首先由正合性,ker(j1 j2) = Im (i1,i2)= Z, 它由 (1,1) 生成. 故同态像 Im (j1 j2)=H1(X1) H1(X2)/ker(j1 j2) = Z Z/Z= Z 由 (1,0) 生成.328MAYER-VIETORIS序列33直和 Z Z 的生成元是 (k1(1),k2(1), ker(j1 j2) 的生成元是 (k1,1).现在, 有正合序列0/Im (j1 j2)/H1(T)/must beIm/0ZZ ZZ这样 H1(T)= Z Z.注记. H1(T) 由 0+ 1+ 2 (横向一周)和 Im (j1 j2) = 1 生成(纵向一周).思考.1) 试求 H2(T) 的同态 之核的原像.2) 计算两个环面的联通和.注记. 最后, 在学习同调论的过程中, 一开始不必搞懂证明, 会用就行.