第二章静电场中的导体

1、 第二章第二章 静电场中的导体静电场中的导体 2 1 静电场中的导体 2 3 电容器及其的电容 2 2 封闭金属腔内外的静电场 2 4 带电体系的静电能 2 静电感应仪器（自学）教学要求1.掌握导体静电平衡条件，分析带电导体的静电场中的电荷分布 ；求解有导体存在时场强与电势分布；2. 理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；一、静电感应1. 静电场与导体的相互作用2.1 静电场中的导体、物质的电结构 单个原子的电结构 内层电子价电子原子内部壳 层的电子受外层电 子的屏蔽一般都填满了 每一个壳层在原子中结合得比较紧填充在最外层的电子与核的结合较弱，容易摆脱原子核的 束缚称为价电子自由电子 、导体、绝缘体和半导体、静电感应现象虽然所有固体都包含大量电子，但导电性能差异很大 导体中存在着大量的自由电子 。导体中电子数密度很大， 约为1022个/cm3 绝缘体 ：基本上没有参与导电的自由电子 半导体中自由电子数密度较小，约为 10121019个/cm3 物质中的电荷 在电场的作用 下重新分布场分布互相影响场分布、 互相制约 达到某种新的平衡 静电感应现象是场与物质的相互作用问题 力学：只涉

2、及物质的机械性质，对其本身研究甚少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性质也涉及得 很少。 物质与场是物质存在的两种形式二、静电平衡：导体内部及表面均无电荷定向运动，导体上电荷 及空间电场分布达到稳定.空间电场：静电平衡条件：+ + +导体内各点电势相等等势体（1）导体为等势体（2）导体表面为等势面要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其电荷分布.+ +S思考：设带电导体表面某点电荷密度为 ，外侧附近场强 ，现将 另一带电体移近，该点场强是否变化？公式 是否仍成立？导体表面 变化，外侧附近场强 变化，而 仍然成立 。 例 电荷面密度为 的无限大均匀带电平面两侧(或有限大均匀带 电面两侧紧邻处)的场强为 /(2e0)；静电平衡的导体表面某 处面电荷密度为 ，在表面外紧邻处的场强为 /e0。为什么 前者比后者小一半？解：导体表面某处的面元 dS 处的面电荷密 度为 ，它在其两侧紧邻处的场强为 E1 = E2 = /(2e0 )。导体dS 除 dS 外，导体表面其它电荷在 dS 内侧紧邻 处的场强为 E3，在外侧紧邻处的场强为 E4。因为两个紧邻处相对于其它表面可看成一个 点，故 E

3、3 = E4。由场强叠加原理和静电平衡条件得 E内= E1 E3 = 0，所以 E1 = E2 = E3 = E4 。因此由场强叠加原理得导体表面外紧邻处的场强E外= E2 + E4 = 2E2 = /e0。是除 上的电荷以外，其余电荷在面 元处的P点所产生的电场。而导体达到 静电平衡时：三、带电导体所受的静电力 在导体表面任取一面元 ，其上面电荷密度为 。因为 取得 很小，可以把它视为点电荷，所以面元所受的静电力为：（1）对图中的P1点， 为：上的电荷在P1点所产生的场强： (P、P1点无限接近 表面，故视 为无限大平面)为：除 上的电荷以外其余电荷（导体上其它部分）在 P1点所产生的场强。在所取面元 附近取两点P、P1，则根据迭加原理，有：（2）对于图中的P点： 讨论方法类似于上： A. 上的电荷在P点产生的场强 ： （因P点 无限接近表面，仍把 看成无限大平面） 、 均垂直于导体表面。 也必垂直于导体表面（由以上等式） 三矢量 、 、 平行共线故 故 ：故：单位面元所受的力为：B.除 外的电荷在P点产生的场强则带电导体外表面电荷分布规律曲率大处(尖、凸）,电荷面密度大. 曲率小处

4、(平、凹）,电荷面密度小.导线证明:即：将两相距足够远的导体球用导线连接则:带电导体尖端附近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发 生电离而使导体产生 放电现象尖端放电现象+ +金属支架 绝缘座静电感应 电晕放电 可靠接地带电云带电云避雷针的工作原理+ + +五、导体静电平衡问题的讨论方法1、讨论静电场：由电荷分布求 、V 场的性质：由高斯定理、环路定理决定 2、有导体存在时的静电场，出现静电感应现象，最后达到静电 平衡。并且 静电场的性质 （结合电场线的两个性质 ） + 静电平衡的性质 =讨论静电场中的导体（讨论方法）六、平行板导体组例题证明：对于两个无限大带电平板导体来说：（1）相向的两面上 ，电荷面密度总是大小相等符号相反；（2）相背的两面上，电 荷面密度总是大小相等符号相同。例一 相距很近的平行导体板 ，分别带电 求电荷分布. 解：设平板面积为S由电荷守恒：（1）（2）由静电平衡条件：（3）（4） 由（1）、（2）、（3）、（4）解得：即：相背面 等大同号，相对面 等大异号.讨论：、由高斯定 理可得、若2. 2 封闭导体壳内外的静电场(1)空腔原不带电，腔内电荷q ，腔内、外表面

5、电量？-(2)空腔原带电Q, 腔内电荷q ，腔内、外表面电量？- -腔接地：假设不为零，腔外 表面将有电场线发 出或终止。这与无 穷远等势相矛盾。思考与讨论：(3）空腔能屏蔽腔内电荷q的电场吗？有什么办法能实现这种屏蔽？腔接地：内外电场互不影响. 腔不接地：腔内不受腔外电荷影响腔外要受腔内电荷影响-(4)腔内电荷q 的位置移动对 分布有无影响？腔内电荷q 的位置移动对 分布有影响； 对 分布无影响。内表面以外的空间场强为零，且与内表面及 腔内电荷分布无关。外部电场与实心导体相同1外球壳的电荷分布及电势例二带电量q ，半径 的导体球A外有一内半径 ，外半径 的同心导体球壳B ,求:解：2将 B 接地再重新绝缘，结果如何？外球壳接地： 假设不为零，外球壳 外表面将有电场线发 出或终止。这与无穷 远等势相矛盾。3然后将A 接地，A、B 电荷分布及 B 电势如何变化？ A 球电荷入地，B 球壳q 分布于表面，对吗？与接地条件矛盾，不对！设A 带电 则 则由 ：即A 所带部分电荷入地.例三 内半径为R的导体球壳原来不带电，在腔内离球心距离为处，固定一电量q的点电荷，用导线将球壳接地后再撤 去地线

6、，求球心处电势.解：1画出接地前的电荷分布图.由静电平衡条件，腔内壁非均匀分布的负电 荷对外效应等效于：在与 同位置处置 。2外壳接地后电荷分布如何变化？内壁电荷分布不变 3由叠加法求球心处电势 .QVE三、电容的计算孤立导体电容取决于本身形状大小,与其是否带电无关。令孤立导体：周围无其他导体，电介质，带电体.由电容定义：则金属球电势：设其带电量为Q例1 半径 R 的孤立金属球的电容练习：估算地球的电容：例2 推求圆柱型电容器的电容公式 ，并总结求电容 器电容的一般方法.求：已知：得：解：设极板带电量Q作半径 ，高h的同轴圆柱面为高斯面.由电容定义：电容器两极板间电势差：Q总结：求电容器电容的一般方法2）选高斯面，求1）设极板带电3）求电容器两极板间电势差4）由电容定义练习: 求两平行长直导线单位长度间的电容（导线半径a，轴线间距离d） 解：设单位长度带电（导体内）（导体间）2.4 带电体系的静电能一、点电荷系的相互作用能（电势能）相互作用能W互：把各点电荷由当前的位置分散至相距无穷远 的过程中，电场力作的功。两个点电荷：同理：写成对称形式：q1q212U12U21（注意，这里必须规定

7、U= 0）三个点电荷：q1q2q3先作功 q2(U12+U32)后作功 q3U13推广至一般点电荷系：Ui 除 qi 外，其余点电荷在 qi 所在处的电势q二、 连续带电体的静电能（自能）静电能W：把电荷无限分割，并分散到相距无穷远时，电 场力作的功。 只有一个带电体： dqU点电荷的自能无限大，所以是无意义的。假定电荷面密度为e，把连续分布的 带电面分割成许多电荷元，其电量 qi=eVi，则有带电体各部分电荷 在积分处的总电势静电能仅对其中包含电荷的体积或面积进行，在其他地方 ，积分等于零 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？ 多个带电体：总静电能三、电容器的能量储能 = 过程中反抗电场力的功.模型：将 由负极移向 正极板的过程极板电量 板间电压计算：电容器的能量:由功能原理可知 ：外场中P点的电势n一个电偶极子在外电场中的电势能1 1、电荷或电荷组在外电场中的能量、电荷或电荷组在外电场中的能量 电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带电体产生的电场 （外场）中具有电势能 一个电荷在外电场中的电势能思考与讨论：2、带电体系在外场中受的力或力矩与静电势能的关系设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它的位形发生 微小变化 电势能将相应地改变W 电场力做一定的功A 设系统无能量耗散和补充，能量守恒 A= -W 电场力的功等于电势能的减少 利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系受力的关系 电场力在 l方向上的投影 设想带电体系有一微小位移 l 、平移力矩在转轴方向的投影 、转动、转动 设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移n用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁）场力做虚功求力 例题:利用虚功原理证明均匀带电球壳在单位面积上受到的静电 排斥力为一个总电量为q，半径为R均匀带电的球壳的自能为 设想球面稍有膨胀 则单位面积所受的斥力 若先将带电球壳自能用电荷面密度表示与前面得到的不同，那个对？为什么？求导过程中认为电荷密度不变，对吗？问题：

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