2.3偏导数
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第三节 偏导数第二章二、 高阶偏导数一、 偏导数概念及其计算三、小结一、偏导数的概念及其计算偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 在 处 注意:由此可知，函数对某一自变量的偏导数就是把其它变量暂 时视为常数时，函数对这个自变量的变化率.因此，偏导数 的计算与一元函数求导数没有什么不同.解证原结论成立证有关偏导数的几点说明：、对于分段函数的分界点、函数的不连续点处的 偏导数只能用偏导数定义求；例4 设即 xy0 时,解 ：故、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.一元函数在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续.但是同理反之，二元函数在某点连续， 函数在该点偏导数 存在.例如,这是二元函数与一元函数的相似之处.是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的4、偏导数的几何意义混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.二、高阶偏导数解解注意:此处但这一结论并不总成立.例如,二者不等（定义 ）（定义 ）问题 ：具备怎样的条件才相等？本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立.例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:而初等函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶混合偏导数与求导次序无关.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有解偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）三、小结
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