最新最全的矢量分析与场论讲义(必考)

1、矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性 函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学 研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢 量分析中的推广。2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数，但在后边场tA 论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢 性函数或者，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、yx,Azyx,A 偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函 数及其有关的相应概念加以推广而得出。3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢的几何tA 意义，即是位于的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲tAtA 线上对应 t 值的点处，且恒指向 t 值增大的一方。如果将自变量取为矢端曲线的弧长 s，即矢性函数成为， sAA 则不仅是一个恒指向 s 增大一方的切向矢量，而且是一个 dsdsAA单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。4 矢量保持定长的充分必要条件是与其导矢互相垂直。tAtAtA因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数为单jie

2、tttsincos位矢量，故有，此外又由于，故。 （圆函tt eett1eett1ee数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用） 。5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性 函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dtdtABBABAdtdtABBABA前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相 减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。6 在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数 量构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及 数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样， 在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和 三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算， 例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数 的相应运算。7 矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(p11)、不定积 分的基本运算公式(p16)典型例题： 教材 p6 例 2、p10 例 4、p12 例 6、p13 例 7。习题一（p1920） 此外还有上课所讲的例题。 补充：

3、1）设，求 kerba12021drrS2）一质点以常角加速度沿圆周运动，试证明其加速度 era，其中 为速度 的模。r22avvv3）已知矢量，计算积分。kjiAtttln2 kjiBttet3sindtBA4）已知矢量，计算积分。jiAtt2kjiBtettsincosdtBA第二章场论一 内容概要1 本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场 的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描 述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观 方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具 有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。2 空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线 等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量或矢量在 Mu MA 场中的宏观分布情况而引入的概念。比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场 中等值面的例子；而地形图上的等高线即为平面数量场中等值线的 例子。在矢量场中，矢量线可以体现场矢量的分布状况，又能体现场 矢量的走向。例如流场中的流线，体现了流速的分布状况和它们的 走

4、向。此外，由于矢量场中的每一点都有一条矢量线通过，因此对 于场中的任一条曲线 C（非矢量线） ，在其上的每一点也皆有一条矢 量线通过，这些矢量线的全体，就构成一曲面，称为矢量面，特别 的，当曲线 C 为封闭曲线时，矢量面就成为一管形曲面，称之为矢 量管。3 有一种空间场（矢量场或者数量场）具有这样的一种几何特点： 就是在场中存在一族充满场所在空间的平行平面，场在其中每一个 平面上的分布，都是完全相同的（若是矢量场，其场矢量同时也平 行于这些平面） 。对于这种场，只要知道场在其中任一平面的中的特 性，则场在整个空间里的特性就知道了，因此，可以将这种场简化 到这族平面中的任意一个平面上来研究，因而，也把这种场称为平 行平面场。在平行平面场中，通常为了研究方便，通常取所研究的 这一个平面为 xoy 平面。此时，在平行平面场中，场矢量就可以表 示成为平面矢量，在平行平面数量场中，其数jAiAAyxyxyx, 量就可以表示成为二元函数，并且这样的研究结果适用于yxuu, 任何一块与 xoy 面平行的平面。典型例题：习题 2（最好能全部做一下）（1）求数量场通过点 M(1,2,1)的等值面。222

5、lnzyxu（2）求矢量场通过点 M(2,1,1)的矢量线方程。kjiAyx24 数量场中函数的方向导数是一个数量。它表示在场中的一个 Mu 点处函数沿某一方向的变化率。详细点说：其绝对值的大小， Mu 表示沿该方向函数变化的快慢程度，其符号的正负，则表示沿该方 向函数的变化是增加还是减小的。若在点 M 处，函数可微，则函数 u 沿 l 方向的方向导数在 Mu 迪卡尔坐标下的计算公式为：coscoscoszu yu xu lu 5 数量场的梯度是一个矢量，场中的每一点都对应着一个梯度矢量。梯度矢量有两个重要性质：（1）梯度在任一方向上的投影，正好等于函数在该方向上的方向导数，。据此可以推出：梯度自身的方向就是方向导数最大luulgrad的方向，其模就是这个最大方向导数的数值。（2）数量场中每一点处的梯度都垂直于此数量场过该点的等值面，且指向函数值增大的一方。梯度在直角坐标系中的表达式为：。kjigradzu yu xuu此外，从梯度的基本运算公式可以看出，他与一元函数中导数运算的公式完全类似，这一点可以帮助大家掌握梯度的基本运算(p39)。典型例题 p34 例 2，p37 例 3，例

6、4，p38 例 5，6，习题 3。（1）求函数在点 M(1,2,3)处沿矢量xzyzzxu22322方向的方向导数。kjixyxzyz（2）求函数在曲面在点 M(2,3,3)处沿曲面下侧法线方向的方xyzu 向导数。Mnu|（3）求函数在点 M(2,3)处沿曲线朝 x 增大一方223yyxu12 xy的方向导数。（4）设 R 是从点到任意一点的距离，求证是cbaM,0zyxM,gradR在方向上的单位矢量。MM0R（5）已知一可微的数量场在点处，朝点方向zyxu,1 , 2 , 10M1 , 2 , 21M的方向导数是 4，朝点方向的方向导数为-2，朝点方1 , 3 , 12M0 , 2 , 13M向的方向导数为 1，试确定在处的梯度，并求出朝点方0M7 , 4 , 44M向的方向导数。（6）求数量场在点处沿过点 M 的等值面的外法线方向ru10 , 0 , 1M的方向导数，其中 r 为矢径的模。nlu kjirzyx6 矢量场穿过某一曲面的通量是从某些物理量，诸如ASsdSA流速场中的流量、电场中的电通量、磁场中的磁通量以及热流场中的热量等等概念中抽象出来形成的一个数学概念。因此通量

7、是具有若干物理意义的。如果是一个封闭曲面，则矢量场穿出的总通量为SAS，SdSA（1） 当时，则 S 内必有产生通量的源头；0（2） 当时，则 S 内必有吸收通量的漏洞；0这两种情况，合称为 S 内有源（源头为正源，漏洞为负源） 。（3） 当时，不能断言 S 内无源，因为这时，在 S 内正源0和负源互相抵消，也可能恰好出现总通量为零的情况。由此可见，从穿出某个封闭曲面的总通量，可以初步了解在 S 内通量产生的情况，当然这仅仅是一种整体性的粗略了解，这由此引出了矢量场中散度的概念。7 矢量场的散度 div，是指在场中的一点处，矢量场穿出一个AAA包含该点在内的微小区域的边界曲面的通量对的体积变S化率，即VdVdivS SA A 00limlim它是一个数量，表示此矢量场在这个点处散发通量或者吸收通量的强度。具体来说，散度以绝对值表示在该点处源的强度大小。当其不为零时，以正负号表示该点处的源为正源或者负源；当其为零时，则表示该点无源，从而将散度恒为零的矢量场称为无源场。与散度相对应的场称为散度场散度场。由于散度场为数量场，故亦可通过其等值面、方向导数和梯度等来揭示其分布规律和变化情况。在直

8、角坐标系中，矢量场在点 M 处的散 kjiAMRMQMP度表示式为：zR yQ xPdivA由此可以得出奥氏公式（高斯定理）的矢量形式为： dVdivdSASA此式表明了通量和散度之间的一种关系：穿出封闭曲面 S 的通量，等于 S 所包围的区域上的散度在上的三重积分。P52 散度的基本运算公式。典型例题 p44 例 1，p52 例 4，例 5，习题 4。（1）设 S 为由圆柱面及平面和所围成的封闭曲222ayx0zhz 面，求穿出 S 的柱面部分的通量。kjirzyx（2）已知，试确定阿 kjiAxyzcxzzzxybyxaxz2222a，b，c 使得 A 是一个无源场。（3）求矢量场所产生的散度场 kjiA2232323xzxyzyzyyzx通过点的等值面及其在点 M 处沿 Ox 轴正向的变化率。1 , 1, 2 M(4) 已知，其中，求。 0rrdivfgradkjirzyxrr rf8 矢量场沿有向闭曲线 l 的环量也是从某些物理量，如AldlA力场中的功、流场中的环流以及磁场中的电流强度等概念抽象形成的一个数学概念，和通量概念的形成极为类似，通量是一个曲面积分，环量是一个曲线积

9、分。二者在矢量场中都是一种整体性的概念，为了研究矢量场的局部性质，前面从通量引入了散度，这里又可以从环量引入环量面密度的概念：在矢量场中的一点 M 处，取定一个方向为 ，再经过点 M 处An以 为法矢作一微小曲面，同时以表示其面积，其边界之正nSSl向与法矢 构成右手螺旋关系，则场沿之正向的环量与面积nAl之比，当沿其自身缩向 M 点时，其极限就称为矢量场在点SSAM 处沿方向 的环量面密度环量面密度（就是环量对面积的变化率） ，即：nSdSlMSMSn lA limlim可见，环量面密度概念与散度概念（通量的体密度）的构成是非常类似的，二者都是一种局部性的概念。设矢量场，则场在点 M 处沿方向 kjiAMRMQMPA的环量面密度在直角坐标系下的计算公式为：ncoscoscosyxxzzynPQRPQR9 环量面密度与散度这两个概念的构成虽然很相似，且都是一种变化率，但二者有着重要的差别，这就是：散度和矢量场中之点能构成一一对应关系，二环量面密度不仅与场中的点位置有关，而且还与从该点出发的方向有关，从一个点出发的方向有无穷多个方向，对应的也有无穷多个环量面密度的值，所以，换辆面密度与矢量中的点不能构成一一对应的关系。环量面密度和散度的上述差别正是环量面密度和方向导数相一致的地方。这就诱导我们去寻找一种矢量，使它在一个点处和环量面密度之间的关系恰如梯度和方向导数之间的关系一样，循此探索，就得出了旋度的概念。10 矢

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