2014届步步高大一轮复习讲义13.2

1、13.2 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2014 高考会这样考 1.从近几年的高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档为主；2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题复习备考要这样做 1.联系具体实例，体会几种推理的概念和特点，并结合这些方法解决一些应用问题；2.培养归纳、类比、演绎的推理思维模式，培养分析、解决问题的能力1合情推理主要包括归纳推理和类比推理合情推理的过程(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的基本模式：a、b、cM 且 a、b、c 具有某属性，结论：任意 dM，d 也具有某属性(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的基

2、本模式：A：具有属性 a，b，c，d；B：具有属性 a，b，c；结论：B 具有属性 d.(a，b，c，d 与 a，b，c，d相似或相同)2演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)“三段论”可以表示为大前提：M 是 P；小前提：S 是 M；结论：S 是 P.用集合说明：即若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.难点正本 疑点清源1在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明2应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的3演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性1(

3、2012陕西)观察下列不等式：10)，观察：xx2f1(x)f(x)，xx2f2(x)f(f1(x)，x3x4f3(x)f(f2(x)，x7x8f4(x)f(f3(x)，x15x16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN*且 n2 时，fn(x)f(fn1(x)_.答案 x2n1x2n解析 依题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为 an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为 bn2n.所以当 n2 时，fn(x)f(fn1(x).x2n1x2n3给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay 与 sin()类比，则有 sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 B4 “因为指数函数 yax是增函数(大前提)，而 yx是指数函数(小前提)，所以函数 y(13)x是增函数(结论)” ，上面推理的错误在于( )(13

4、)A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错答案 A5(2012江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10等于( )A28 B76 C123 D199答案 C解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则 a10b10123.题型一 归纳推理例 1 已知函数 f(x)，x21x2(1)分别求 f(2)f，f(3)f，f(4)f的值；(12)(13)(14)(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f(1)f(2)f(3)f(2 012)fff.(12)(13)(12 012)思维启迪：所求函数值的和应该具有规律性、经观察可发现 f(x)f1.(1x)解 (1)f(x)，x21x2f(2)f1，(12)22122(12)21(12)2221221221同理可得 f(3)f1，f(4)f1.(13)(14)(2)由(1)猜想 f(x)f1，(1x)证明：f(x)f(1x)x21x2(1x)21(1x)

5、21.x21x21x21(3)由(2)可得，原式f(1)f2f(12) f3f(13)f2 012f(12 012)f(1)2 011 2 011.124 0232探究提高 本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法已知经过计算和验证有下列正确的不等式：0，n0，则当 mn20 时，有0，n0，则当10mn20 时，有0 且 a1)aax a(1)证明：函数 yf(x)的图像关于点对称；(12，12)(2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值(1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐(12，12)标为(1x，1y)由已知得 y，aax a则1y1，aax aaxax af(1x)aa1x aaaax aaaxa aax，axax a1yf(1x)，即函数 yf(x)的图像关于点对称(12，12)(2)解 由(1)有1f(x)f(1x)，即 f(x)f

6、(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.归纳不准确致误典例：(5 分)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前 12 项，如下表所示a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则 a2 009a2 010a2 011等于( )A1 003 B1 005 C1 006 D2 010易错分析 本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的 6 个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即 a2nn(nN*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足 a4n3a4n10(nN*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当 n 为偶数时 ann，就会得到 a2 009a2 010a2

7、 0112 010 的错误结论，而 选 D.解析 a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，这个数列的规律是奇数项为 1，1,2，2,3，偶数项为 1,2,3，故 a2 009a2 0110，a2 0101 005，故 a2 009a2 010a2 0111 005.答案 B温馨提醒 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为数学证明的工具.方法与技巧1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行3合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)失误与防范1合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理

8、过程的严密性，书写格式的规范性3合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据A 组 专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确答案 C解析 f(x)sin(x21)不是正弦函数是复合函数，所以小前提不正确2由 ，若 ab0，m0，则与 之间的大小关系为( )710589118101325921bmambaA相等 B前者大 C后者大 D不确定答案 B3由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba” ；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc” ；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)” ；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax” ；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|” ；“ ”类比得到“ ” acbcabacbcab以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 正确；错误4(2011江西)观察下列各式：7249,73343,742 401，则 72 011的末两位数字为( )A01 B43 C07 D49答案 B解析 因为 717,7249,73343,742 401,7516 807,76117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期 T4.又因为 2 01145023，所以 72 011的末两位数字与 73的末两位数字相同，故选 B.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5在 RtABC 中，若C90，ACb，BCa，则ABC 外接圆半径 r.运用a2b22类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a，b，c，则其外接球的半径 R_.答案 a2b2c22解析 (构造法)通过类比可得 R.证明：a2b2c22作一个在同一个顶点处棱长分别为 a，b，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外a2b2c2a2b2c22接

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