概率论第三章习题解答

1、第三章习题解 1 在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考 虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。定义随机变量，如下：XY0, 1X 若第一次取出的是正品， ，若第一次取出的是次品。0,Y1 若第二次取出的是正品， ，若第二次取出的是次品。试分别就（1） ， （2）两种情况写出，的联合分布律。XY 解 （1）放回抽样由于每次抽取时都是 12 只开关，第一次取到正品有 10 种可能，即第一次取到正品的概率为 ，1050126P X 第一次取出的是次品的概率为 211126P X 同理，第二次取到正品的概率1050126P Y 第二次取到次品的概率为211126P Y 由乘法公式得，的联合分布率为XY，,| P Xi YjP Yj Xi P XiP Xi P Yj0,1i 0,1j 。 具体地有， 55250,06636P XY5150,16636P XY，1551,06636P XY1111,16636P XY用表格的形式表示为XY0 10125 365 365 361 36 （2）不放回抽样，506P X 116P X 因为第二次抽取时

2、，箱子里只有 11 只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有 9 只 正品） 。所以， 90|011P YX21|011P YX， 100|111P YX11|111P YX则 ， 59450,061166P XY52100,161166P XY，110101,061166P XY1111,161166P XY用表格表示为XY0 10145 6610 6610 661 66 2 （1）盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示 取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数，求 X 和 Y 的联合分布律。（2）在（1）中求，。P XY2P YX3P XY3P XY解 X 可能的取值为 0，1，2，3；Y 的可能取值为 0，1，2。（因为盒子里总共只有 7 只球，每次取 4 只球，而0,0 0P XYP 红球 2 只，故不可能白球和黑球同时都取不到）， 0,1 0P XYP 220 223 4 710,235C C CP XYC。1,0 0P XYP 112 32261,13535C C CP XY。 121 32261,23535C C CP XY2

3、2 3232,03535C CP XY， ，211 322122,13535C C CP XY22 3232,23535C CP XY， ，31 3223,03535C CP XY31 3223,13535C CP XY3,2 0P XYP 其联合分布律为XY0 1 2 30120 0 3 352 350 6 3512 352 3501 356 353 35（2）1,02,12,1P XYP XYP XYP XY3,03,13,2P XYP XYP XY3122219003535353535；620,01,235P YXP XYP XY33,02,11,2P XYP XYP XYP XY。2126204 35353535733,02,11,2P XYP XYP XYP XY。361102 3535353573 设随机变量的概率密度为(, )X Y(6),02,24( , )0,kxyxyf x y ， 其它.（1）确定常数；k（2）求；1,3P XY（3）求；1.5P X （4）。4P XY解 由得( , )1f x y dxdxy 2402( , )(6)f x y dxdxydxk

4、xy dy 224 20(6)2ykyxydx222 00(62 )(6)8kx dxkxxk令， 得。81k 1 8k （2）1311,3(6)8P XYdxxy dy 21313 202011(6)(6)882ydxxy dyyxydx121 00171173()()828228xdxxx 1.540211.51.5,24(6)8P XP Xydxxy dy1.521.5 001112727(62 )(6)888432x dxxx（积分区域为，240214(6)8xP XYdxxy dy02x）24yx22011(46)82xxdx。322 01 11162(26 )8 6833xxx4 设，是非负的连续型随机变量，它们相互独立。XY（1）证明 ，其中是的分布函数，是的 0( )( )XYP XYFx fx dx( )XFxX( )YfyY概率密度。 （2）设，相互独立，其概率密度分别为XY， 1 1,0,( )0,.xXexfx 其它2 2,0,( )0,.xYeyfy 其它求。P XY解 （1）因为，是非负的连续型随机变量，且相互独立，所以XY，在区域内( , )( )( )X

5、Yf x yfx fy(,)xxy ( , )( )( )XYx x yP XYf x y dxdyfx dxfy dy ( )( )( )( )( )XYxXYYfx Fydxfx FFx dx ( )1( )( )( )( )XYXXYfxFx dxfx dxfx Fx dx（分部积分）1( )( )1( ) ( )XYYXfx Fx dxFx d Fx 1( )( )( )( )YXXYFx FxFx fx dx ( )( )XYFx fx dx（2） 1212 12100xxxx xxP XYeedxeedx1212()()11 1001212xxedxe 5 设随机变量具有分布函数(, )X Y，1,0,0( , )0,xyeec xyF x y 其它求边缘分布函数。解 当时0x ( )lim( , )lim(1)1xyx yx XyyFxF x yeeee 其它情形 ，即( )0XFx 。1,0,( )0,xXexFx 其它同理 当时0y ( )lim( , )lim(1)1xyx yy YxxFyF x yeeee 其它情形 ，即( )0YFy 。1,0,( )0,yYe

6、yFy 其它6 将一枚硬币掷三次，以 X 表示前两次中出现 H 的次数，以 Y 表示 3 次中出现 H 的次数，求 X，Y 的联合分布律以及的概率密度。(, )X Y解 将一枚硬币掷三次，其 H 和 T 出现的情况为 HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT X 的取值为 0,1，2，Y 的取值为 0，1,2，3 则（TTT） ， （TTH）10,08P XY10,18P XY， 0,20P XY0,30P XY（HTT，THT）1,00P XY21,18P XY（HHT，THH） 21,28P XY1,30P XY12,08P XY2,10P XY（HHT） （HHH） 12,28P XY2,30P XYXY0 1 2. jp01 230 01 801 82 80 2 81 80 0 1 81 8 3 8 3 8 1 8. ip 1 41 21 47 设二维随机变量的概率密度为(, )X Y4.8 (2),01,0( , )0,.yxxyxf x y 其它求边缘概率密度。解 当 时01x22 00( )( , )4.8 (2)2.4(2)2.4(2)xx Xfx

7、f x y dyyx dyyxxx22.4(2),1,( )0,.Xxxxfx 其它当 时01y12121( )( , )4.8 (2)4.8 (2)2.4 (34)2Yyyfyf x y dxyx dyyxxyyy22.4 (34),01,( )0,.Yyyyyfy 其它8 设二维随机变量的概率密度为(, )X Y,0,( , )0,yexyf x y 其它求边缘概率密度解 当时，0x ( )( , )yyx Xxxfxf x y dye dyee 于是 ,0,( )0,0xXexfxx当时0x 00( )( , )yyyyy Yfyf x y dxe dxexye 于是 ,0,( )0,0yYyeyfyy9 设二维随机变量的概率密度为(, )X Y22,1( , )0,.cx y xyf x y 其它（1）确定常数；c （2）求边缘概率密度 解 （1） 因为 22111222 111( , )2xxcf x y dxdycx dxydyx ydx 11262610()()2cxx dxcxxdx 1370114()3721cxxdxc令 ，得。即4121c 21 4c 2221,1( , )4 0,.x y xyf x y 其它（2） 当时11x 21221( )( , )4Xxfxf x y dyx ydy2421(1)8xx于是 2421(1), 11( )8 0,.Xxxxfx 其它当时01y5 22217( )( , )42yYyfyf x y dxx ydxy于是 5 27,01( )2 0,.Xyyfx 其它10 某一医药公司 8 月份和 9 月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为 X 和 Y。据 以往积累的资料知 X，Y 的联合分布律为X Y51 52 53 54 5551 52 53 54 550.66 0.05 0.05 0.01 0.01 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03（1）求边缘分布律； （2）求 8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单数的条件概率。 解（1）边缘

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