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1-高等数学同济大学第六版本

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卖家[上传人]：nt****6

文档编号：35768201

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1、习题 181 研究下列函数的连续性并画出函数的图形 (1) 21 210 )(2xxxxxf解已知多项式函数是连续函数所以函数 f(x)在0 1)和(1 2内是连续的在 x1 处因为 f(1)1 并且 1lim)(lim2 11 xxf xx1)2(lim)(lim 11xxf xx所以从而函数 f(x)在 x1 处是连续的 1)(lim1xfx综上所述，函数 f(x)在0 2上是连续函数 (2) 1| 111 )(xxxxf解只需考察函数在 x1 和 x1 处的连续性在 x1 处因为 f(1)1 并且 ) 1(11lim)(lim 11 fxf xx ) 1(1lim)(lim 11fxxf xx所以函数在 x1 处间断但右连续在 x1 处因为 f(1)1 并且f(1) f(1) 1lim)(lim 11 xxf xx11lim)(lim 11xxxf所以函数在 x1 处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在 x1 处间断但右连续 2 下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续 (1

2、) x1 x2231 22xxxy解因为函数在 x2 和 x1 处无定义所以 x2 和) 1)(2() 1)(1( 231 22xxxx xxxyx1 是函数的间断点因为所以 x2 是函数的第二类间断点 231limlim2222xxxyxx因为所以 x1 是函数的第一类间断点并且是可去间断点 2) 2() 1(limlim11xxyxx在 x1 处令 y2 则函数在 x1 处成为连续的 (2) xk (k0 1 2 )xxytan2kx解函数在点 xk(kZ)和(kZ)处无定义因而这些点都是函数的间2kx断点因(k0) 故 xk(k0)是第二类间断点 xxkxtanlim因为 (kZ) 所以 x0 和(kZ) 是第一类1tanlim0xxx0tanlim2 xxkx2kx间断点且是可去间断点令 y|x01 则函数在 x0 处成为连续的令时 y0 则函数在处成为连续的 2kx2kx(3) x0 xy1cos2解因为函数在 x0 处无定义所以 x0 是函数的间断点又xy1cos2xy1cos2因为不存在所以 x0 是函数的第二类间断点 xx1coslim2

3、 0(4) x 1 1 31 1 xxxxy解因为所以 x1 是函数的第一0) 1(lim)(lim 11 xxf xx2)3 (lim)(lim 11xxf xx类不可去间断点 3 讨论函数的连续性若有间断点判别其类型 xxxxfnnn2211lim)(解 1| 1| 01| 11lim)(22xxxxx xxxxfnnn在分段点 x1 处因为所以1)(lim)(lim 11 xxf xx1lim)(lim 11xxf xxx1 为函数的第一类不可去间断点在分段点 x1 处因为所以 x1 为1lim)(lim 11 xxf xx1)(lim)(lim 11xxf xx函数的第一类不可去间断点 4 证明若函数 f(x)在点 x0连续且 f(x0)0 则存在 x0的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)0证明不妨设 f(x0)0 因为 f(x)在 x0连续所以由极限的局0)()(lim0 0xfxfxx部保号性定理存在 x0的某一去心邻域使当 x时 f(x)0 从而当)(0xUo)(0xUoxU(x0)时 f(x)0 这就是说则存在 x0的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)0 5 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子 (1)x0 1 2 n 是 f(x)的所有间断点且它们都是无穷间断21n1点解函数在点 x0 1 2 n 处是间断的xxxfcsc)csc()(21n1且这些点是函数的无穷间断点 (2)f(x)在 R 上处处不连续但|f(x)|在 R 上处处连续解函数在 R 上处处不连续但|f(x)|1 在 R 上处处连续 QQ xxxf11)(3)f(x)在 R 上处处有定义但仅在一点连续解函数在 R 上处处有定义它只在 x0 处连续 QQ xxxxxf)(

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