高等数学同济大学第六版本
7页1、总习题九1 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论 (1)设有空间闭区域1(x y z)|x2y2z2R2 z0 2(x y z)|x2y2z2R2 x0 y0 z0 则有_ (A) (B) xdvxdv214 ydvydv214 (C) (D) zdvzdv214 xyzdvxyzdv214 解 (C) 提示 f(x y z)x 是关于 x 的奇函数 它在关于 yOz 平面对称的区域1上的 三重积分为零 而在2上的三重积分不为零 所以(A)是错的 类似地 (B)和(D) 也是错的f(x y z)z 是关于 x 和 y 的偶函数 它关于 yOz 平面和 zOx 面都对称的区 域1上的三重积分可以化为1在第一卦部分2上的三重积分的四倍 (2)设有平面闭区域 D(x y)|axa xya D1(x y)|0xa xya 则 _ dxdyyxxyD)sincos( (A) (B) (C) (D)0ydxdyxDsincos21 xydxdyD12 ydxdyxDsincos41 解 (A) 2 计算下列二重积分 (1) 其中 D 是顶点分别为(0 0) (1 0) (1 2)和(0 1
2、)的梯形ydxDsin)1 ( 闭区域 解 积分区域可表示为 D(x y)|0x1 0yx1 于是 101010)1cos(1)1 (sin)1 (sin)1 (dxxxydydxxydxxD 2sin22cos1sin1cos23(2) 其中 D(x y)|0ysin x 0x dyxD)(22 解 032sin022 022)sin31sin()()(dxxxxdyyxdxdyxxD 9402(3) 其中 D 是圆周 x2y2Rx 所围成的闭区域 dyxRD222 解 在极坐标下积分区域 D 可表示为 cos0 ,22R于是 ddRdyxRDD22222 22cos023 22cos02222)(31dRdRdrR 32 0332233) 43 (91)sin1 (32|)sin|1 (3RdRdR(4) 其中 D(x y)|x2y2R2 dyxyD) 963(2 解 因为积分区域 D 关于 x 轴、y 轴对称 所以 063 ydxdDD 2999RddDD 因为 dyxdxdyDDD)(212222 所以 dyxRdyxyDD)(219) 963(2222 42 02202 49
3、219RRddRR3 交换下列二次积分的次序 (1) )4(21440),(yydxyxfdy解 积分区域为 )4(214 , 40 | ),(yxyyyxD并且 D 又可表示为D(x y)|2x0 2x4yx24 所以 44202)4(214402 ),(),(xxyydyyxfdxdxyxfdy(2) yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(解 积分区域为D(x y)|0y1 0x2y(x y)|1y3 0x3y 并且 D 又可表示为 321, 20 | ),(xyxxyxD所以 xxyydyyxfdxdxyxfdydxyxfdy3212030312010),(),(),(3) 21110),(xxdyyxfdx解 积分区域为 11 , 10 | ),(2xyxxyxD并且 D 又可表示为 20 , 21 | ),(0 , 10 | ),(22yyxyyxyxyyxD所以 22220210101110),(),(),(yyyxxdxyxfdydxyxfdydyyxfdx4 证明 axamyxamadxxfexadxxfedy0)( 0)( 0)()()(证明 积
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