解直角三角形专题

1、解直角三角形的应用专题复习解直角三角形的应用专题复习解直角三角形的应用既是初中数学的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：一、解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%10%。分值约在 8%12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题，几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。1.1.解直角三角形有以下类型：解直角三角形有以下类型：已知两边已知两边先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角已知一边和一锐角已知一边和一锐角先求另一锐角，再由边角关系求其余两边先求另一锐角，再由边角关系求其

2、余两边典例分析：典例分析：例 1 在中,解这个三角形.ABCRt,900C3,30bA解法一 ,30,9000AC.2ac 设,则由勾股定理,得 .xa .2xc 222)2() . 3(xx1x .000060309090. 22, 1ABxca解法二 . 133330tan0 ba0002222603090. 2)3(1Bbac说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用本章所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题.巩固训练：巩固训练： 分别由下列条件解直角三角形（）.090C（1） （2）；（3）;45, 80Bc060, 36Bb;24, 4ca（4）. 6,2ba解 （1）。000045459090BA 。caA sin. 2445sin8sin0Aca24 ab（2）。000030609090BA . cbB sin.122336 60sin36 sin0Bbc .sincaA . 6211230sin12sin0Aca(3) ,24, 4,sincacaA.22244sinA .450A.454590000B. 4 ab(4) .,6,2,tanbaba

3、A3362tanA .300A000060309090AB , .222cba2262c说明:本题考查直角三角形的解法,解题关键是正确地选用关系式.易错点是选用关系式不当,造成计算错误或增大结果的误差。2.2. 应用解直角三角形知识解决实际问题：应用解直角三角形知识解决实际问题：例：直升飞机在跨江大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO=450 米，且 A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 =30，=45，求大桥的长 AB【分析】如图所示，要求 AB 长，先设法求出边 AO 与 BO 的长，然后相减即可，由条件可得，又因为30PAO45PBOPO=450 米，可选择上述两特殊角正切分别求得 AO 与 BO【解】由题意得，30 ,45PAOPBO ，tan30 ,tan45POPO OAOBQ450450 3tan30OA450450tan45OB ，答：大桥的长 AB 为450( 31)( )ABOAOBm米450( 31)（强调解题完整，要写“答”，注意单位，这些都是中考失分的重要因素） POBA450 米米例例 1 图图变题变题 1：直升飞机在长

4、400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，且 A、B、O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的 仰角分别为 30和 45 ，求飞机的高度PO请大家自行分析解决，注意方程思想的运用（本题应注意方程思想的运用，可设所求 PO 长为 x，由 45 度角的正切或直接由“等角对等边”可求得 OB 也等于 x，然后再由 30度角的正切列出方程，即，熟练后也可以直接列3 4003x x，所以）3400xx200 3200( )xm POBA4530 400 米米变题变题 1 图图变题变题 2 直直升飞机在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30和 45，求飞机的高度 PO 将将将问题转化为两个直角三角形组合图形中加以解决，可割可补（本题会出现两种不同解法，割或补，即过 A 作 ACPO，要求 PO长，此时 CO=AB=200，只需求出 PC 即可；或是过 P 作 PC 垂直BA 延长线于点 C，求出 AC。不管哪种方法，必须注意所设未知数是哪条边，如果不是直接设 PO 为未知数，则一定要注意最后的结果必须是 PO 的长，结果为）100 3300(

5、 )m3045200 米米POBA变题变题 2图变题变题 3：直升飞机在高为 200 米的大楼 AB左侧 P 点处，测得大楼的顶部仰角为 45，测得大楼底部俯角为 30，求飞机与大楼之间的水平距离找出等量关系，列方程（列方程关键在于找出等量关系，本题可以以 AB 长为等量关系，充分利用好 45 度角的特点，即 PD=AD，如果设 PD=x，则 AD=x，由 30 度角可表示，从而可以列出方程；设3 3BDx3200,300 100 3( )3xxxmBD=x，则 AD=PD=200-x，得，不能忘记3200xx100 3100x 求 PD）根据以上解题过程，列举四题中三个示意图，分析归纳这类问题的共同点从而了解数学建模及方程思想，并归纳出这类图形的结构特点规律总结：（将例规律总结：（将例 1 及及 3 个相关变题中的图形加以分析，从每个问题所提个相关变题中的图形加以分析，从每个问题所提 供的条件特点，结合图形结构特征，可归纳出这类问题：（供的条件特点，结合图形结构特征，可归纳出这类问题：（1）示意图为有一个）示意图为有一个 公共边的两个直角三角形，分布位置有两种，位于公共边同侧或异侧；

6、（公共边的两个直角三角形，分布位置有两种，位于公共边同侧或异侧；（2）所）所 给条件一般为两角一边，且边一般为已知角的邻边或对边（非直角三角形斜边）给条件一般为两角一边，且边一般为已知角的邻边或对边（非直角三角形斜边） ， 此时选用的三角函数关系多为正切）此时选用的三角函数关系多为正切） 45 30PABDO200 米米变题变题 3图变题 4：（2008 桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米上空的 P 点，测得 A 村 的俯角为，B 村的俯角为（如图） 求 A、B 两个村庄间的3060 距离 总结：总结：通通过过以上以上题题目，重点是目，重点是让让大家掌握如何把大家掌握如何把实际问题转实际问题转化化为为数学数学问题问题，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何图图形，就本形，就本课课而言是主要是两个三角形的两种不同而言是主要是两个三角形的两种不同组组合合图图形。此外在解形。此外在解直角三角形中也渗透了方程思想。直角三角形中也渗透了方程思想。（1）数学建模及方程思想）数学建模及方

7、程思想从实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题求解；从实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题求解；解直角三角形常结合用方程。解直角三角形常结合用方程。QBCPA4506030 POBA4 5 0 米米例例 1图图 POBA4 5 3 0 40 0 米米变题变题1 图图4 5 3 0 PABDO20 0 米米变题变题3图3 0 4 5 2 0 0 米米POBA变变题题2图（2）解题方法小结）解题方法小结A把实际问题转化为数学问题的两个方面；（图形转化，条件转把实际问题转化为数学问题的两个方面；（图形转化，条件转化）化）B把数学问题转化为解直角三角形的处理方法把数学问题转化为解直角三角形的处理方法 （构造直角三角形）（构造直角三角形）（将（将实际问题转实际问题转化化为为数学数学问题问题，关，关键键要画好示意要画好示意图图，从，从实际问题实际问题抽象抽象出数学模型，如果是出数学模型，如果是单单个直角三角形，个直角三角形，则则直接解直角三角形，如果是直接解直角三角形，如果是一般三角形，甚至是梯形或一般三角形，甚至是梯形或组组合合图图形，形，则则通通过过作高将其作高将其转转化

8、化为为直角形直角形再求解，而解直角三角形的常用方法是再求解，而解直角三角形的常用方法是结结合方程合方程进进行行计计算）算）联联系系实际实际， ，对问题对问题情境的理解需要具有一定的空情境的理解需要具有一定的空间间想象能力，逐想象能力，逐步从步从实际问题实际问题中，抽象出数学模型，将中，抽象出数学模型，将实际问题转实际问题转化化为为数学数学问题问题来解来解决。决。变题变题 1 与例与例 1 是交是交换题换题目条件与目条件与结论结论，情境不，情境不变变，分，分别别求求桥长桥长与与飞飞机高。机高。变题变题 2-3 情境有所情境有所变变化，由化，由测桥变为测测桥变为测楼，所求楼，所求问题问题是是飞飞机机高及高及飞飞机到楼房距离。以上机到楼房距离。以上问题问题的解的解题题关关键键在于在于转转化化实际问题为实际问题为数学数学问题问题，着重是示意，着重是示意图图的画法（包括已知什么和求什么），的画法（包括已知什么和求什么），进进而利用解直而利用解直角三角形知角三角形知识识解决解决问题问题，并在解，并在解题题后及后及时时加以加以归纳归纳，挖掘，挖掘图图形形结结构及构及条件的特点。条件的特点。 例 3

9、已知如图在直角梯形 ABCD 中，分别为FEBCBCDAB、,cm10,60,/AD、BC 的中点，cm，求两底14EFAB、CD 的长.解：过 C 作于 G 交 EF 于 H.ABCG E、F 分别是 AD、BC 的中点， .GBHFABEF/,/在 Rt中，. CBGcm10,60BCBQ 60cosBCGB).cm(51021HF 为的中位线，CBG)cm(5 .1655 .11 ),cm(5 .115 . 214 ).cm(5 . 221GBDCGBAGABHFEFEHCDGBHF答：AB 的长是 16.5cm，CD 的长是 11.5cm.说明：本题使用“转化思想” ，把分散的元素，通过添加辅助线，集中到一 个三角形中，然后再解此三角形。一种重要的方法与途径是使用割补法，将图 形分割或拼补成一些直角三角形，再注意寻找公共边与公共角进行过渡例 3 在中，求 AB 边上ABC60,45,26BAAB的高 CH.分析 注意到，在中，构造关于 CH 的方程.AHCH CHBRt解：设，在中，hCH AHCRt，于是，hCHAHhAHABHB)26(所以有关于 h 的方程，360tan)26(hh解这个方程

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