静定结构内力计算

1、第三章 静定结构的受力分析 10第三章 静定结构的受力分析一、 静定结构的特征本章讨论各类静定结构的内力计算。何谓静定结构，从结构的几何构造分析知，静定结构为没有多余联系的几何不变体系；从受力分析看，在任意的荷载作用下，静定结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定，且解答是唯一的确定值。因此静定结构的约束反力和内力皆与所使用的材料、截面的形状和尺寸无关；支座移动、温度变化、制造误差等因素只能使静定结构产生刚体的位移，不会引起反力及内力。二、 静定结构的计算方法在材料力学中，杆件横截面的内力用截面法求解，即用假想的截面截取分离体，暴露出所求截面的内力，然后列出分离体的平衡方程，计算支座的反力和内力，绘制结构的内力图。对静定结构受力分析的基本方法就是截面法。本章将对实际工程中应用较广泛的单跨和多跨静定梁、静定平面刚架、三铰拱、静定平面桁架、静定组合结构等常见的静定结构（图 3-1）进行了内力分析，并完成内力图的绘制。图 3-1 常见静定结构)(b)(a)(c 构组 合 )(f)(e(d) 三铰拱 第三章 静定结构的受力分析 11第一节单跨和多跨静定梁一、 单跨静定梁单跨静定梁在工程中应

2、用很广，是组成各种结构的基本构件这一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。在材料力学中对梁的受力分析及内力求解已作了详细的研究，在这里仍有必要加以简略回顾和补充，以使读者进一步熟练掌握。1、 单跨静定梁的基本形式及约束反力 简 支 梁)(a悬 臂 梁)(b外 伸 梁)(c图 3-2 单跨静定梁单跨静定梁的结构形式有水平梁、斜梁及曲梁；简支梁、悬臂梁及伸臂梁是单跨静定梁的基本形式，梁和地基按两刚片规则组成静定结构，其三个支座反力由平面一般力系的三个平衡方程即可求出。2、 内力分量计算内力的方法为截面法。平面杆系结构（图 3-3a）在任意荷载作用下，其杆件在传力过程中横截面 m-m上一般会产生某一分布力系，将分布力系向横截面形心简化得到主矢和主矩，而主矢向截面的轴向和切向分解即为横截面的轴力 和剪力 ，主NFs矩即为截面的弯矩 。轴力 、剪力 和弯矩 即为平面杆系结构构件横截面的三MsFM个内力分量，如图 3-3b 所示。内力的符号规定与材料力学一致，如图 3-4：轴力以拉力为正；剪力以绕分离体顺时针方向转动者为正；弯矩以使梁的下侧纤维受拉为正。反之则为负。内力计算由截面法的运算得到：轴力

3、 等于截面一侧所有外力（包括荷载和反力）沿截而法线方向投影代数和。NF剪力 等于截面一侧所有外力沿截面方向投影的代数和。s截面的弯矩 等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。M图3-3AmBD2PFxAyFlC1Px(a)(b)mAySFC1Px NM第三章 静定结构的受力分析 12上述结论的表达式为（或 ） LNxiFRNxiF（或 ） sysy )13(（或 ） )(ciM)(ciM式中， 截面左侧某外力在 x 轴线方向的投影； 截面右侧某外力在 x 轴LxiF Rxi方向的投影； 截面左侧某外力在 y 轴方向的投影； - 截面右侧某外力在 y 轴yi yiF方向的投影。 -截面左侧某外力对该截面形心 c 之力矩； -截面右侧某外)(Lci )(Rcyi力对截面形心 c 之力矩。3、 内力与荷载间微分关系及内力图形状的判断绘制杆系结构的内力图一定要熟练掌握荷载、剪力和弯矩间的微分关系，即：)(dsxqFsM)23()(2xx根据荷载、剪力和弯矩间的微分关系，以及杆件在集中力和集中力偶作用截面两侧内力的变化规律，将内力图绘制方法总结在表 3-1 中以供复习。3-1 直梁内力图的

4、形状特征序号 梁上的外力情况 剪力图 弯矩图图3-4)(左 )(右 )(左 sF)(右顺 )(左 )(右M拉压NF)(左 )(右)(bs逆 )(左 )(右)(cN)(a)(左 )(右 压拉第三章 静定结构的受力分析 131Fs 图为水平线OO0sxFs0 xxFs0sss 图为斜直线MOx0M0M0OxMd0xd02均布荷载作用指向上方 xs上斜直线x上凸曲线3均布荷载作用指向下方sFxO下斜直线xMO下凸曲线4集中力作用 C 截面剪力有突变 C 截面弯矩有转折5 集中力偶作用 xsFC 截面剪力无变化 C 截面左右侧，弯矩突变（ 顺时针，弯矩增加；反之减少）eM6 极值的求解：M的 截 面0)(xFs 有 极 值eC常 数q0常 数q00q无外力作用梁段 PCMeeFpA BA B A BA B AC)(a)(b)(c)(dql2CBMc qM2l2l 2lBMBA281ql281ql图 3-5 mkN图第三章 静定结构的受力分析 144、 区段叠加法作弯矩图用叠加法做简支梁（图 3-5a）在均布荷载 q、A 截面外力偶 MA 和 B 截面外力偶 MB 共同作用下的弯矩图。图 3-5

5、 中，由叠加原理：图 a=图 b+图 c+图 d。实际作图时，不必作出分解图 b、c 、d，而直接作出图 3-4a。其方法是先绘出两个杆端弯矩 和 ，AB并用直线（图中虚线）相连，然后以此直线为基线叠加简支梁在荷载 作用下的弯矩q图 3-4b。其跨中截面 C 的弯矩为： 。注意弯矩图82822lqlMBABAC 的叠加是指其纵坐标叠加。这样，最后的图线与最初的水平基线之间所包含的图形即为叠加后所得的弯矩图。上述叠加法对作任何区段的弯矩图都是适用的，如图 3-6a 所示的梁承受多种荷载作用，如果已求出某一区段 AB 截面 A 的弯矩 和截面 B 的弯矩 ，则 AB 区段上AMB集中力作用的跨中截面的弯矩不必用截面法去求，而可采用简便的区段叠加法求解。取出图 3-6b AB 段为分离体，根据分离体的平衡条件分别求出截面 A、B 的剪力 和sAF。将此分离体与图 3-6c 所示的简支梁相比较，由于简支梁受相同的集中力 及杆sBF P端弯矩 和 作用，由简支梁的平衡条件可求得支座反力 ， 。AMB sAyFsBy至此可见，图 3-6b 的 AB 区段梁和图 3-6c 所示的简支梁受力完全相同，

6、故两者弯矩图也必然相同；对于图 3-6c 所示简支梁的弯矩图可用图 3-7 简支梁的叠加法作出。图 3-7 所示的简支梁在跨中 C 截面的弯矩可由叠加法按下式计算：)(a)(c )(dAMBlFP41)(2AMeA Fp B qC D E2lFAMBsFsFp)(bAMBsFsFpBsDDsBq)(fsBDsBq)(e)(g图 3-5(21BD281ql第三章 静定结构的受力分析 15FlMFlMBABAC 412412同理，图 3-6e 的 BD 区段梁和图 3-6f 所示的简支梁受力完全相同，故两者弯矩图也相同；而图 3-6f 所示简支梁的弯矩图在图 3-5a 中已用叠加法绘出。故得出结论：受弯结构中任意区段梁均可当作简支梁，利用简支梁弯矩图的叠加法作区段梁的弯矩图。 )(mkNM图图3-7BA B A BA B AC)(a)(b(c)(dMMl2CBc BM22A2l llFl41FFFl415、 绘制内力图的一般步骤（1） 求反力（一般悬臂梁不求反力）（2） 分段。凡外荷载不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的起讫点及支座结点等）均应作为分段点，每相邻两分段点为一

7、梁段，每一梁段两端称为控制截面，根据外力情况就可以判断各梁段的内力图形状。（3） 定点。根据各梁段的内力图形状，选定所需的控制截面，用截面法求出这些控制截面的内力值，并在内力图上标出内力的竖坐标。（4） 连线。根据各段梁的内力图形状，将其控制截面的竖坐标以相应的直线或曲线相连。对控制截面间有荷载作用的情况，其弯矩图可用区段叠加法绘制。6、 静定结构内力求解中几点注意的问题：（1） 弯矩图画在受拉边、不标明正负，轴力图剪力图画在任一边，标明正负（2） 内力图要标名名称、单位、控制竖标大小（3） 大小长度按比例、直线要直、曲线光滑（4） 截面法求内力所列平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系统例 3-1 试作图 3-8 所示梁的剪力图和弯矩图。解: （ 1）求支座反力：, ()0EM mkN20m716kN/530kN26R AF第三章 静定结构的受力分析 16()0AM kN46m720m6kN/23026kNR EF（2）梁分段并用截面法求出各控制截面的剪力和弯矩： 截面： 右 s,A RAM截面： 左Bk20R,L,B k201k20LB截面： 右 Ns,F m46N截面： 左

8、C,C C截面： 右 -13-Rs, LR截面： Dk0s,L,Dk561mN30-26mM截面：左E4kN/-1L, EsF-2k20截面： 右 246s,Rs, m12kN6/L CM截面： 左 LF, -0-kE（3）定出各控制截面的纵座标，按微分关系连线，绘出剪力图和弯矩图。其中区段 BD 和区段 DE 可用区段叠加法快速求区段跨中弯矩：区段 BD 跨中截面： 6k423056412FlMDBC区段 DE 跨中截面： mN882 qEG图 3-8kN20 20kMCBA D E Fm66k4N30P/4m1m 1m 1m 2mkN34m2m0kN26120k14k51sFM2mGCBE第三章 静定结构的受力分析 177、 斜简支梁的内力图在建筑工程中，常会遇到杆轴倾斜的斜梁，其中单跨静定斜梁的结构形式有：梁式楼梯、板式楼梯、屋面斜梁以及具有斜杆的刚架。斜梁上主要有两种外荷载的分布情况：图 3-9a 中沿杆轴长度作用的铅垂均布荷载，荷载分布集度为 ，例如楼梯的1q自重荷载。图 3-9b 水平方向作用的均匀荷载，荷载分布集度为 ，例如楼梯上的人2q群荷载。为了计算上的方便，在图 3-9a 中，一般将沿楼梯梁轴线方向均布的荷载 按照合1力等效原则换算成沿水平方向均布的荷载 ，即：1qlq11coscos1q故对于楼梯斜梁无论是计算楼梯自重荷载作用还是计算人群荷载作用均可采用水平方向均布的荷载作用（图 3-9c）进行内力计算。下面用一例题说明斜梁的内力计算特点。例 3-2 如图 3-9 所示楼梯简支斜梁，斜梁的水平投影长度为 ，斜梁与水平方l向夹角为 ，斜梁自重荷载为 ，承受的1q人群荷载为 ，试绘制斜梁在两个荷载共2q同作用下的内力图。 ， 解：（1）自重荷载换算 将沿斜梁轴线方向的荷载 换算成沿水平方向的荷载1q图 3-9ABl1q(a) Kxxly21q0AxF2qly(b) xB2qlFAy(c) NKFSMx210ABl2q (d)l图 3-10(a)

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