10. 遵循下位学习规律的实践以指数函数教学设计为例梁宇学

1、 年月下旬（高中 ）：教学设计研究中小学数学遵？位学 习规律的实践，数”教学设计！例 ， ， 赢 選 沘 京 予洚定区都呷大， （ ） 尊丨学 指数函数在学习函数一般概念后学习， 它是一般未来年我国发展前景分析判断 ， 未来年， 我国函数概念的下位概念， 因此将其归属到学生认知结构（ 国内生产总值）年平均增长率可望达到 那中原有的概括程度与包容范围较高的函数概念之下么， 在 ？年， 各年的可望为 年的多少学习 ， 应当引导学生在一般函数概念及其研究方法的倍？指导下学习指数函数如果把我国 年 看成是 个单位， 年笔者在指数函数的教学中 ， 遵循学生下位学习的为第一年，那么：基本规律 ， 以问题为导向 ， 设计贴近学生思维的问题 年后（ 即 年 ） ， 我国的可望为 年的串 ， 引导学生展开学习 ， 并使学生体会研究一个具体（） 倍；函数的基本过程与方法 年后（ 即 年） ， 我国的可望为 年的 教学目标（ ）倍；（ ）经历指数函数概念生成的基本数学经验 ， 掌年后 （ 即 年 ） ， 我国的可望为 年的握指数函数的定义（ ）倍；（）学会描点作出指数函数的图象， 会使用图形设 （ ，矣）

2、年后 ， 我国的 可望为计算器作出指数函数图象年的 倍， 那么 （ ）倍， 即年起， （ ） 归纳指数函数的性质， 理解函数图象的意义年后我国的为 年的 倍进步了解研究个具体想与方輔分别是，法， ， ， ， ， 时 ， 请计算出相应的幂的值， 教学重点与难点重点 ： 指数函数图象、性质、概念的生成？入了表难点 ： 自变量取值范围从整数、到有理数、再到无士士理数扩大的数学意义， 底数对函数值变化的影响 教学过程设计设计意图 ： 通过填表了解学生对指数运算的掌握实例 某种细胞分裂时 ， 由 个分裂成个 ， 个 情况， 并解决 负整数指数幕与 负分数指数幕的简单计分裂成 个， 个这样的细胞分裂 ；次后 ， 得到的 算问题， 为后续学习作铺整细胞个数 与有怎样的函数关系？问题 ： 以上表为依据， 当 戈 分别是， ，设计意图 ：创设问题情境，让学生第一时间接触， 时 ，请在同一直角坐标系中描出！） 最简单的指数函数， 激发学生的兴趣具有（ ）特征的点 ， 并观察具有此特征的点随 实例“一尺之棰， 日取其半，万世不竭木椎的变化而变化的趋势 如果；（是任意的整数时， 具有此截取： 次后 ，剩余量与

3、有怎样的函数对应关系？特征的点集的趋势是怎样的？设计意图 ： 实例 是递增的， 实例 是衰减的 ， 使设计意图 ： 通过描点画图这一环节 ， 使学生在同学生在异同的对比中有进一步的思考一直角坐标系 中描出具有（ ， ）特征点的同时 ， 认实例 据国务院发展研究中心年发表的识到当 是任意的整数时， 这些点的趋势是纵坐标随此文为人民教育出版社课程教材研究所“十二五”课题“高中数学教材（版） 函数 内容修订研究” （课题批准号： ）阶段性研究成果之一。第 页中小学数学教学设计研究：年 月下旬 （高中）着横坐标的增大而增大， 为后续 问题中指数为有理数首先， 初中时我们学过 ， （ ） 为此， 函作铺垫？ 数 且是一个不为 的常数 ， 函数的形式问题 ？ 以 为底，当指数是任意的有理数时， 是）想象一下， 在同一直角坐标系中具有（ ， ）特征的其次， 如果 ， 那么 ；、 士等分数指数集随 ；的变化而变化的趋势如何？设计意图： 由此问题， 引导学生认识当 ：是任意有时， 在实，犯围没有义？ 所以我们舰当 时理数时 ， 点 ） 随 的变化而变化的趋势， 为指数为无理数作铺塾再次 如果 ， 函数

4、与 又问题： 总结上述个问题， 结合函数定义思考， 当是同函敗、 、￥的取值細是全体有麵时， 是不是函数？ 如综上 ， 我们选取函数 （！，且）果是， 那么函数值随之变量的变化而变化的趋势如问题 ： 总结上述过程， 你认为指数函数该如何定设计意图 ：该问题意在使学生对前面的问题有一 幻个总结性的思考 ， 从而得出结论 ：是任麵有设计意图：使学生认识到 ， 因为指数是自变量 ，纖时） 符合函数的定义， 从其酿上观察， 该函数值 （， ）随着自变量的变大而变大、 数 同 时学生从问题 的思考中 ， 能够很清楚地认识到问题： 想象下， 如果 是任意的无纖， 了底数为什么魏定且的范围？是否符合函数定义？观察其图象， 说明麵数的函数丨句题 ： 以厂 为例， 说明指数函数的定义域和值与自变量之晒关雜何？设计意图、设计意图： 此问题的设计是使学生根据指数函数其 ，此问题意在使学生对前面的问题 有更深 图象思考出其定义域与值域？ 还可以问学生 ：刻的蒽考 即函数（ ； 是任意的有理数时） 的图“如果是任意的无理数， 的函数值如何确定？” 象有许多 小洞 ， 这些与该函数图象上的点紧邻的小或者层层深入到

5、极限的逼近方法确定无理指数幂的洞 ，构成了是任意的无理数）的图象，这些小确定洞的横坐标所对应的正是轴上的个个无理数？ 例（ ） 如 果 是正整数 那么 如， 点 （￥， ，就是其中的一个小洞 ， 其横坐标忑 ；所对应的是轴上的无理数万（）如果 ， 那么 ；其二 ， 此问题意在使学生通过思考 ， 得到结论（）如果 ，是正整数， 那么 士（ 是任意的无理数） ，也符合函数的定义，从其函賴象上观察， 该函紐随着自变量的变大而变大 胃 问题：如果 ； 是任意的实数 是否符合函过乘方、开方等运算算出 例如 ： 可表示为数定义？ 观察其图象， 该函数是否也是增函数？（互质，且均为整数 ， ） ，那么 设计意图 ： 此问题意在使学生认识到 ， 前后各问题之间涉及的函数自 变量范围的不 同？对其图象的影，（）？响？ 并在思考后得到结论（ ；？： 是任意的实数） 也（）如果是任意的无理数， ？ 的函数值如何符合函数的定义从其函数图象上观察 ， 该函数值随确定？着自变量的变大而变大下面我们以函数为例，说明当 ； 忑时， 怎问题： 为什么要选取函数厂￥ （ ？，且￥ ）样求出函数值 我们知道， 万 ， 由结

6、论（ ）来研究？ （从 （ 是任意的实数）函数图象上观察， 该函数设意图 ： 从实例 的函数关系 出发， 引导学生联值随着 自 变量的变大而变大）得 ：而系上述錡所有问题，对指数函数这个新概念的生成做 ， 均是有理数，这样我们可以找到？ 的近似值：好铺盤 ？通过设计开放性的问题，将学生的思维逐步由 通 ，得： ，引向深入（下转第 页 ）第 页？ 年 月下旬（高中）解颗研究中小学数学是数学问题的元、户 东名課训 肀 高级中 （ ） 刘 芳当人们运用数学概念、 原理、方法与思想解决问； ，题时， 通常会联想到一些数学的基本模型、基本问题与基本方法 在本文中 ， 我们通过运用数学归纳法证？ （ ） （ ？ ）明与数列有关的不等式， 说明这类问题所蕴涵的数学（ 丄 基本问题， 以及数学解决问题的思维特征 ， 并由此帮 助人们更好地理解和掌握数学思维 ）【问题 】 已知数列 ？的通项公式为 （ 去 丄 ，？ 是数列 的前以页和， 且有因此 ， 只需证明 ： 去 士 一，？ ￥ （ 士士 士）？ （ ， ； 彡 ） ，） （ ）？ 是数列丨？ 丨 的前 项和 ， 求证： 足矣 下面用数学归纳法证明不等式（ ）（ ） 当 时 ， 因为这是 年高考理科数学试题（广东卷） （ ） ，金！ 丄 仁 ？ ？ ，尽管这是今年广东理科数学最难的问题，但却是能用又， 所此时不等式（ ）成立数学归纳法证明的一个基本问题设咻）不等式（ ）成立， 即我们可先得到 ，？ ， （上接第 页） 由 ，得： ， ，设计意图 ：该问题意在使学生掌握基本的描点作由 ，得： ，出指数函数图象的方法， 学会使用 图形计算器作出指由 ， 得 ： 数函数的图象， 培养学生使用图形计算器进行验证的 ？ ？ ？ ？思？只？继续用这种逼近方法 ，我们可以得到小数点后六问题 ： 进一步观察 、 、 （ 、位的近似值： ？ ）这些图象， 分别回答下列问题：同理， 我们可以使用上面的方法， 当 自变量取任，意无理数时， 计算出该函数的函醜 变量 的職抱围是什么？ 所对应函数值； 的综上： 指数函数的定义域是所有实数取值范围是什么？换句话说， 对于指数函数

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