10. 遵循下位学习规律的实践以指数函数教学设计为例梁宇学

年月下旬（高中 ）：教学设计研究中小学数学遵？位学 习规律的实践，数”教学设计！例 ， ， 赢 選 沘 京 予洚定区都呷大， （ ） 尊丨学 指数函数在学习函数一般概念后学习， 它是一般未来年我国发展前景分析判断 ， 未来年， 我国函数概念的下位概念， 因此将其归属到学生认知结构（ 国内生产总值）年平均增长率可望达到 那中原有的概括程度与包容范围较高的函数概念之下么， 在 ？年， 各年的可望为 年的多少学习 ， 应当引导学生在一般函数概念及其研究方法的倍？指导下学习指数函数如果把我国 年 看成是 个单位， 年笔者在指数函数的教学中 ， 遵循学生下位学习的为第一年，那么：基本规律 ， 以问题为导向 ， 设计贴近学生思维的问题 年后（ 即 年 ） ， 我国的可望为 年的串 ， 引导学生展开学习 ， 并使学生体会研究一个具体（） 倍；函数的基本过程与方法 年后（ 即 年） ， 我国的可望为 年的 教学目标（ ）倍；（ ）经历指数函数概念生成的基本数学经验 ， 掌年后 （ 即 年 ） ， 我国的可望为 年的握指数函数的定义（ ）倍；（）学会描点作出指数函数的图象， 会使用图形设 （ ，矣） 年后 ， 我国的 可望为计算器作出指数函数图象年的 倍， 那么 （ ）倍， 即年起， （ ） 归纳指数函数的性质， 理解函数图象的意义年后我国的为 年的 倍进步了解研究个具体想与方輔分别是，法， ， ， ， ， 时 ， 请计算出相应的幂的值， 教学重点与难点重点 ： 指数函数图象、性质、概念的生成？入了表难点 ： 自变量取值范围从整数、到有理数、再到无士士理数扩大的数学意义， 底数对函数值变化的影响 教学过程设计设计意图 ： 通过填表了解学生对指数运算的掌握实例 某种细胞分裂时 ， 由 个分裂成个 ， 个 情况， 并解决 负整数指数幕与 负分数指数幕的简单计分裂成 个， 个这样的细胞分裂 ；次后 ， 得到的 算问题， 为后续学习作铺整细胞个数 与有怎样的函数关系？问题 ： 以上表为依据， 当 戈 分别是， ，设计意图 ：创设问题情境，让学生第一时间接触， 时 ，请在同一直角坐标系中描出！） 最简单的指数函数， 激发学生的兴趣具有（ ）特征的点 ， 并观察具有此特征的点随 实例“一尺之棰， 日取其半，万世不竭木椎的变化而变化的趋势 如果；（是任意的整数时， 具有此截取： 次后 ，剩余量与有怎样的函数对应关系？特征的点集的趋势是怎样的？设计意图 ： 实例 是递增的， 实例 是衰减的 ， 使设计意图 ： 通过描点画图这一环节 ， 使学生在同学生在异同的对比中有进一步的思考一直角坐标系 中描出具有（ ， ）特征点的同时 ， 认实例 据国务院发展研究中心年发表的识到当 是任意的整数时， 这些点的趋势是纵坐标随此文为人民教育出版社课程教材研究所“十二五”课题“高中数学教材（版） 函数 内容修订研究” （课题批准号： ）阶段性研究成果之一。第 页中小学数学教学设计研究：年 月下旬 （高中）着横坐标的增大而增大， 为后续 问题中指数为有理数首先， 初中时我们学过 ， ° （ ） 为此， 函作铺垫？ 数 且是一个不为 的常数 ， 函数的形式问题 ？ 以 为底，当指数是任意的有理数时， 是）想象一下， 在同一直角坐标系中具有（ ， ）特征的其次， 如果 ， 那么 ；、 士等分数指数集随 ；的变化而变化的趋势如何？设计意图： 由此问题， 引导学生认识当 ：是任意有时， 在实，犯围没有义？ 所以我们舰当 时理数时 ， 点 ） 随 的变化而变化的趋势， 为指数为无理数作铺塾再次 如果 ， 函数 与 又问题： 总结上述个问题， 结合函数定义思考， 当是同函敗、 、￥的取值細是全体有麵时， 是不是函数？ 如综上 ， 我们选取函数 （！，且）果是， 那么函数值随之变量的变化而变化的趋势如问题 ： 总结上述过程， 你认为指数函数该如何定设计意图 ：该问题意在使学生对前面的问题有一 幻个总结性的思考 ， 从而得出结论 ：是任麵有设计意图：使学生认识到 ， 因为指数是自变量 ，纖时） 符合函数的定义， 从其酿上观察， 该函数值 （， ）随着自变量的变大而变大、 数 同 时学生从问题 的思考中 ， 能够很清楚地认识到问题： 想象下， 如果 是任意的无纖， 了底数为什么魏定且的范围？是否符合函数定义？观察其图象， 说明麵数的函数丨句题 ： 以厂 为例， 说明指数函数的定义域和值与自变量之晒关雜何？设计意图、设计意图： 此问题的设计是使学生根据指数函数其 ，此问题意在使学生对前面的问题 有更深 图象思考出其定义域与值域？ 还可以问学生 ：刻的蒽考 即函数（ ； 是任意的有理数时） 的图“如果是任意的无理数， 的函数值如何确定？” 象有许多 小洞 ， 这些与该函数图象上的点紧邻的小或者层层深入到极限的逼近方法确定无理指数幂的洞 ，构成了是任意的无理数）的图象，这些小确定洞的横坐标所对应的正是轴上的个个无理数？ 例（ ） 如 果 是正整数 那么 如， 点 （￥， ，就是其中的一个小洞 ， 其横坐标忑 ；所对应的是轴上的无理数万（）如果 ， 那么 ° ；其二 ， 此问题意在使学生通过思考 ， 得到结论（）如果 ，是正整数， 那么 士（ 是任意的无理数） ，也符合函数的定义，从其函賴象上观察， 该函紐随着自变量的变大而变大 胃 问题：如果 ； 是任意的实数 是否符合函过乘方、开方等运算算出 例如 ： 可表示为数定义？ 观察其图象， 该函数是否也是增函数？（互质，且均为整数 ， ） ，那么 设计意图 ： 此问题意在使学生认识到 ， 前后各问题之间涉及的函数自 变量范围的不 同？对其图象的影，（）？响？ 并在思考后得到结论（ ；？： 是任意的实数） 也（）如果是任意的无理数， ？ 的函数值如何符合函数的定义从其函数图象上观察 ， 该函数值随确定？着自变量的变大而变大下面我们以函数为例，说明当 ； 忑时， 怎问题： 为什么要选取函数厂￥ （ ？，且￥ ）样求出函数值 我们知道， 万 ， 由结论（ ）来研究？ （从 （ 是任意的实数）函数图象上观察， 该函数设意图 ： 从实例 的函数关系 出发， 引导学生联值随着 自 变量的变大而变大）得 ：而系上述錡所有问题，对指数函数这个新概念的生成做 ， 均是有理数，这样我们可以找到？ 的近似值：好铺盤 ？通过设计开放性的问题，将学生的思维逐步由 通 ，得： ，引向深入（下转第 页 ）第 页？ 年 月下旬（高中）解颗研究中小学数学是数学问题的元、户 东名課训 肀 高级中 （ ） 刘 芳当人们运用数学概念、 原理、方法与思想解决问； ，题时， 通常会联想到一些数学的基本模型、基本问题与基本方法 在本文中 ， 我们通过运用数学归纳法证？ （ ） （ ？ ）明与数列有关的不等式， 说明这类问题所蕴涵的数学（ 丄 基本问题， 以及数学解决问题的思维特征 ， 并由此帮 助人们更好地理解和掌握数学思维 ）【问题 】 已知数列 ？的通项公式为 （ 去 丄 ，？ 是数列 的前以页和， 且有因此 ， 只需证明 ： 去 士 一，？ ￥ （ 士士 士）？ （ ， ； 彡 ） ，） （ ）？ 是数列丨？ 丨 的前 项和 ， 求证： 足矣 下面用数学归纳法证明不等式（ ）（ ） 当 时 ， 因为这是 年高考理科数学试题（广东卷） （ ） ，金！ 丄 仁 ？ ？ ，尽管这是今年广东理科数学最难的问题，但却是能用又， 所此时不等式（ ）成立数学归纳法证明的一个基本问题设咻）不等式（ ）成立， 即我们可先得到 ，？ ， （上接第 页） 由 ，得： ， ，设计意图 ：该问题意在使学生掌握基本的描点作由 ，得： ，出指数函数图象的方法， 学会使用 图形计算器作出指由 ， 得 ： °数函数的图象， 培养学生使用图形计算器进行验证的 ？ ？ ？ ？思？只？继续用这种逼近方法 ，我们可以得到小数点后六问题 ： 进一步观察 、 、 （ 、位的近似值： ？ ）这些图象， 分别回答下列问题：同理， 我们可以使用上面的方法， 当 自变量取任，意无理数时， 计算出该函数的函醜 变量 的職抱围是什么？ 所对应函数值； 的综上： 指数函数的定义域是所有实数取值范围是什么？换句话说， 对于指数函数