切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理(2020年10月整理).pptx
10页1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段,学习目标 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线 上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切 线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得 到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。,3.弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。,直线 AB 切O 于 P,PC、PD 为弦,图中几个弦切角呢?(四个) 弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 弄清和圆有关的角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。 遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。 与圆有关的比例线段,1,,,8.圆幂定理:过一定点 P 向O 作任一直线,交O 于两点
2、,则自定点 P 到两交点的两条线段之积,|(R 为圆半径),因为叫做点对于O 的幂,所以将上述定理统称为,为常数| 圆幂定理。 【典型例题】,例1.如图1,正方形 ABCD 的边长为1,以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O,过 A 作半圆切线,切 点为 F,交 CD 于 E,求 DE:AE 的值。,图1 解:由切线长定理知:AFAB1,EFCE 设 CE 为 x,在 RtADE 中,由勾股定理,,,,,2,例2.O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E,若 AE6cm,BE2cm,CD7cm,那么 CE cm。,图2 解:由相交弦定理,得 AEBECEDE AE6cm,BE2cm,CD7cm, ,, 即,,,CE3cm 或 CE4cm。 故应填3或4。 点拨:相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。,。,例3.已知 PA 是圆的切线,PCB 是圆的割线,则 解:PP PACB, PACPBA,,,,。 又PA 是圆的切线,PCB 是圆的割线,由切割线定理,得,,,即, 故应填 PC。 点拨:利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论。,3,例4.如图3,P 是O 外
3、一点,PC 切O 于点C,PAB 是O 的割线,交O 于 A、B 两点,如果 PA: PB1:4,PC12cm,O 的半径为10cm,则圆心 O 到 AB 的距离是 cm。,图3 解:PC 是O 的切线,PAB 是O 的割线,且 PA:PB1:4 PB4PA 又PC12cm 由切割线定理,得, ,,,PB4624(cm) AB24618(cm) 设圆心O 到 AB 距离为 d cm, 由勾股定理,得 故应填。 例5.如图4,AB 为O 的直径,过 B 点作O 的切线 BC,OC 交O 于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 D,(1)求证:;(2)若 ABBC2厘米,求 CE、CD 的长。,图4,,即要证CEDCBE。,点悟:要证 证明:(1)连结 BE,4,(2),。,又,,,厘米。 点拨:有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件。 例6.如图5,AB 为O 的直径,弦 CDAB,AE 切O 于 A,交 CD 的延长线于E。,图5,求证: 证明:连结 BD, AE 切O 于 A, EADABD AEAB,又 ABCD, AECD AB 为O 的直径 ADB90
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